岡山大学(理系) 2023年　問題2


$a < 0,\ b > 0\ \ とする。2\ つの曲線 \ C \ :\ y=\cfrac{1}{x^2+1}\ \ と \ D\ :\ y=ax^2 + b \ がある。いま、x > 0\ で \ C\ と \ D\ が$
$共有点をもち、その点における \ 2\ つの曲線の接線が一致しているとする。その共有点のx座標を \ t\ とし、$
$D\ と \ x\ 軸で囲まれた部分の面積を \ S\ とする。以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ D\ と \ x\ 軸の交点の \ x\ 座標を \ \pm p \ とし、p \ > 0\ とする。S\ を \ a\ と \ p\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ a,\ b\ を \ t\ を用いて表せ。$
$(3)\ \ S\ を \ t\ を用いて表せ。$
$(4)\ \ t > 0\ の範囲で、S\ が最大となるような \ D\ の方程式を求めよ。$

(1)


　

$y=a(x-p)(x+p) \quad とおけるから$

$y=ax^2-ap^2 \quad より \quad b=-ap^2$

\begin{eqnarray*} S &=&2\int _0^p (ax^2-ap^2)dx\\ \\ &=&2a\big[\cfrac{x^3}{3}-p^2x\big] _0^p \\ \\ &=&2a\big(\cfrac{p^3}{3}-p^3\big)\\ \\ &=&-\cfrac{4}{3}ap^3 \end{eqnarray*}

(2)


$2曲線の交点は \quad \cfrac{1}{t^2+1}=at^2+b \hspace{5em}①$

$y=\cfrac{1}{x^2+1} \quad より \quad y'=-\cfrac{2x}{(x^2+1)^2} \qquad y=ax^2+b \quad より \quad y'=2ax$

$交点における接線の傾きは等しいので \quad -\cfrac{2t}{(t^2+1)^2}=2at $

$t>0 だから \ \ 両辺を \ 2t\ で割って \quad a=-\cfrac{1}{(t^2+1)^2}$

$①に代入して \quad b= \cfrac{1}{t^2+1}-at^2=\cfrac{1}{t^2+1}+ \cfrac{t^2}{(t^2+1)^2}=\cfrac{2t^2+1}{(t^2+1)^2}$

$よって \quad a=-\cfrac{1}{(t^2+1)^2},\quad b=\cfrac{2t^2+1}{(t^2+1)^2}$


(3)


$y=ax^2+b\ と \ x\ 軸の交点が \ \pm p\ \ だから$

$ap^2+b=0 \qquad p^2=-\cfrac{b}{a} \qquad p=\sqrt{-\cfrac{b}{a}}$

$(1)より$
\begin{eqnarray*} S &=&-\cfrac{4}{3}ap^3\\ \\ &=&-\cfrac{4}{3}a \big(-\cfrac{b}{a}\big)^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}}\\ \\ &=&-\cfrac{4}{3}\big(-\cfrac{1}{(t^2+1)^2}\big) \big\{- \cfrac{2t^2+1}{(t^2+1)^2} \times (-(t^2+1)^2\big\}^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}}\\ \\ &=&\cfrac{4}{3(t^2+1)^2} \times (2t^2+1)^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}}\\ \\ &=&\cfrac{4(2t^2+1)^{\scriptsize{\dfrac{3}{2}}}} {3(t^2+1)^2}\\ \end{eqnarray*}

(4)


$(3)より \quad S=\cfrac{4}{3}(t^2+1)^{-2}(2t^2+1)^{\scriptsize{\dfrac{3}{2}}}$

\begin{eqnarray*} S' &=&\cfrac{4}{3}(-2)(t^2+1)^{-3}(2t)(2t^2+1)^{\scriptsize{\dfrac{3}{2}}} + \cfrac{4}{3}(t^2+1)^{-2} \times \cfrac{3}{2}(2t^2+1)^{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}}(4t)\\ \\ &=&-\cfrac{16}{3}t(t^2+1)^{-3}(2t^2+1)^{\scriptsize{\dfrac{3}{2}}} + 8t(t^2+1)^{-2} (2t^2+1)^{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}}\\ \\ &=&-\cfrac{16t(2t^2+1)^{\scriptsize{\dfrac{3}{2}}}}{3(t^2+1)^3} + \cfrac{8t(2t^2+1)^{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}}}{(t^2+1)^2}\\ \\ &=&\cfrac{8t(2t^2+1)^{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}}\{-2(2t^2+1)+3(t^2+1)\}}{3(t^2+1)^3}\\ \\ &=&-\cfrac{8t(2t^2+1)^{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}}(t^2-1)}{3(t^2+1)^3}\\ \end{eqnarray*} $S'=0 \quad より \quad t=1 \quad よって \ S\ の増減表は$

\[ \quad \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t& 0 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline S'& & + & 0 & - \\ \hline S& & \nearrow & 極大 & \searrow \\ \end{array} \] $t=1\ で \ S\ は極大かつ最大となり、最大値は \quad S=\cfrac{4 \times 3^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}}}{3 \times 4}=\sqrt{3}$

$このとき \quad a=-\cfrac{1}{4},\quad b=\cfrac{3}{4}$

$よって \quad S\ が最大となるような \ D\ の方程式は \quad y=-\cfrac{1}{4}x^2+ \cfrac{3}{4}$


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