岡山大学(理系) 2023年 問題1
$数列\ \{a_n\}\ の第 \ 1\ 項から第 \ n\ 項までの和 \ S_n \ が \ \ \ S_n=\cfrac{7}{6}(a_n-1)\ \ \ を満たすとき、以下の問いに答えよ。$
$ただし、\log _{10}2=0.3010,\ \ \log _{10}3=0.4771,\ \ \log _{10}7=0.8451\ \ とする。$
$(1)\ \ 一般項 \ a_n\ を求めよ。$
$(2)\ \ a_n\ が \ 89\ 桁の整数となるとき、n\ を求めよ。$
$(3)\ \ nを(2)で求めたものとする。a_n\ の \ 1\ の位の数字を求めよ。$
$(4)\ \ nを(2)で求めたものとする。a_n\ の最高位の数字を求めよ。$
(1)
$a_1=S_1=\cfrac{7}{6}(a_1-1) \qquad 6a_1=7(a_1-1) \qquad \therefore \ \ a_1=7$
$n \geqq 2 \quad のとき$
\begin{eqnarray*} a_n &=&S_n-S_{n-1}\\ \\ &=&\cfrac{7}{6}(a_n-1) - \cfrac{7}{6}(a_{n-1}-1)\\ \\ &=&\cfrac{7}{6}a_n - \cfrac{7}{6}a_{n-1}\\ \end{eqnarray*} $\therefore \ \ a_n=7a_{n-1}$
$a_n=a_1 \cdot 7^{n-1}=7 \cdot 7^{n-1}=7^n$
$n=1 \ \ のとき \quad 右辺=7^1=7 \quad だから \quad a_1=7 \ \ に一致する。$
$よって、すべての自然数 \ n\ に対して \quad a_n=7^n$
(2)
$以下対数の底 \ 10\ を省略する \ \ (これを常用対数といいます)$
$a_n\ が \ 89\ 桁の整数ならば \quad 10^{88} \leqq a_n < 10^{89}$
$88 \leqq \log a_n < 89$
$(1)より \quad \log a_n=n\log 7 \quad だから$
$\cfrac{88}{\log 7} \leqq n < \cfrac{89}{\log 7}$
$\cfrac{88}{0.8451} \leqq n < \cfrac{89}{0.8451}$
$104.1 \leqq n < 105.3$
$これを満たす自然数は \quad n=105$
(3)
$10\ を法として \ \ (10\ で割った余りという意味)$
$\quad 7^1 \equiv 7,\qquad 7^2 \equiv 9,\qquad 7^3 \equiv 3,\qquad 7^4 \equiv 1, \qquad \cdots $
$周期 \ \ 4\ で繰り返すから、k\ を自然数として$
\[ 7^n \equiv \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} 7 \hspace{5em}(n=4k+1)\\ 9 \hspace{5em}(n=4k+2)\\ 3 \hspace{5em}(n=4k+3)\\ 1 \hspace{5em}(n=4k)\\ \end{array} \right. \]
$105=4 \times 26 +1 \quad だから \quad 7^{105} \equiv 7$
$すなわち \quad a_{105}\ \ の \ 1\ の位の数字は \ \ 7$
(4)
\begin{eqnarray*} \log a_{105} &=&\log 7^{105}\\ \\ &=&105 \log 7\\ \\ &=&105 \times 0.8451\\ \\ &=&88.7355\\ \\ &=&88+0.7355 \end{eqnarray*} $小数部分の \ \ 0.7355 \ \ が \ 89\ 桁の数の上数桁の数字の並びを表している。$
$\log 5=\log \cfrac{10}{2}=\log 10 -\log 2=1-0.3010=0.6990$
$\log 6=\log (2\times 3)=\log 2+\log 3=0.3010+0.4771=0.7781$
$0.6990 < 0.7355 < 0.7781 \quad だから \quad \log 5 <0.7355 < \log 6$
$88+ \log 5 <88.7355 <88 +\log 6$
$\log (5 \times 10^{88}) < \log a_{105} < \log (6 \times 10^{88})$
$5 \times 10^{88} < a_{105} < 6 \times 10^{88}$
$したがって \quad a_{105}\ \ の最高位の数字は \ \ 5$
$なお、対数表をみると \quad 0.7355=\log 5.439 \quad であるから \ 2\ 番目の数字は \ 4\ である。$
$(感想)$
$私が高校 \ 1\ 年の頃はまだ電卓はなかったので、(3),(4)のような対数計算は教科書の巻末にあった対数表を$
$つかって筆算でよくやりました。懐かしい問題です。今の高校生は学んでいるのでしょうか$
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