岡山大学(理系) 2022年 問題4
$-1 < x <1 \ \ に対して \ \ f(x)=\log (1+x)+\log(1-x)-x\log (1-x)\ \ とおく。ただし、対数は自然対数とする。$
$以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ -1 < x < 1 \ \ のとき、f'(x) \geqq 0 \ \ であることを示せ。$
$(2)\ \ -1 < x <1 ,x \ne 0 \ \ のとき、\cfrac{f(x)}{x} > 0 \ \ であることを示せ。$
$(3)\ \ n\ が \ 2\ 以上の自然数のとき、不等式 \ \ \big(\cfrac{n^2-1}{n^2}\big)^{n+1} < \cfrac{n-1}{n} < \big(\cfrac{n^2-1}{n^2}\big)^n \ \ が成り立つことを示せ。$
$(解説)$
$(1)\ \ f''(x)\ の増減を調べます。$
$(2)\ \ xの正負にわけて符号を調べます。$
$(3)\ \ (2)がつかえるような置換えを考えますが、これがポイントです。$
(1)
$\quad f(x)=\log (1+x)+(1-x)\log(1-x) \quad だから$
$\quad f'(x)=\cfrac{1}{1+x}-\log(1-x)-1$
$\quad f''(x)=-\cfrac{1}{(1+x)^2} + \cfrac{1}{1-x}=\cfrac{-(1-x)+(1+x)^2}{(1+x)^2(1-x)}=\cfrac{x(x+3)}{(1+x)^2(1-x)}$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1\\ \hline f''(x) & & - & 0 & + & \\ \hline f'(x) & & \searrow & 極小 & \nearrow & \\ \end{array} \]
$\quad f'(x)\ は \ \ x=0 \ \ で極小となり、極小値は\ \ f'(0)=1-\log1-1=0$
$\quad よって \quad f'(x) \geqq f'(0)=0$
(2)
$\quad (1)より \ \ x \ne 0 \ \ のとき \ \ f'(x) > 0 \ \ だから\ f(x)\ は単調増加である。$
$\quad $(i)$\ \ 0 < x < 1 \quad のとき$
$\qquad f(x)> f(0)=\log 1 +1 \times \log 1=0$
$\qquad \therefore \ \ f(x) > 0 \quad よって \quad \cfrac{f(x)}{x} >0$
$\quad $(ii)$\ \ -1 < x < 0 \quad のとき$
$\qquad f(x) < f(0)=0$
$\qquad \therefore \ \ f(x) < 0 \quad よって \quad \cfrac{f(x)}{x} >0$
$\quad $(i),(ii)$\ \ より \quad -1 < x <1 ,\ \ x \ne 0 \quad のとき、\cfrac{f(x)}{x} > 0 \quad である。$
(3)
$\quad $(i)$\ \ A=\log \cfrac{n-1}{n} - \log \big(\cfrac{n^2-1}{n^2}\big)^{n+1} \quad とおくと$
\begin{eqnarray*} \quad A &=&\log \big(1-\cfrac{1}{n}\big) - (n+1)\log \big(1-\cfrac{1}{n^2}\big)\\ \\ &=&\log \big(1-\cfrac{1}{n}\big) - (n+1)\log \big(1+\cfrac{1}{n}\big)\big(1-\cfrac{1}{n}\big)\\ \\ &=&\log \big(1-\cfrac{1}{n}\big) - (n+1)\log \big(1+\cfrac{1}{n}\big)-(n+1)\log \big(1-\cfrac{1}{n}\big)\\ \\ &=&-(n+1)\log \big(1+\cfrac{1}{n}\big) - n \log \big(1-\cfrac{1}{n}\big)\\ \end{eqnarray*} $\qquad -\cfrac{1}{n}=x \quad とおくと \quad n\ は \ 2\ 以上の整数だから \quad -1 < x < 0 $
$\qquad A=-\big(-\cfrac{1}{x}+1\big) \log \big(1-x) +\cfrac{1}{x} \log (1+x) =\cfrac{\log(1+x)+\log(1-x)-x\log(1-x)}{x}$
$\qquad 分子=f(x) \ \ とおくと \ \ A=\cfrac{f(x)}{x} \quad となり、(2)より \ \ \cfrac{f(x)}{x} >0 \quad だから \quad A > 0$
$\quad \therefore \ \ \log \big(\cfrac{n^2-1}{n^2}\big)^{n+1} < \log \cfrac{n-1}{n} \quad よって \quad \big(\cfrac{n^2-1}{n^2}\big)^{n+1} < \cfrac{n-1}{n} $
$\quad $(ii)$\ \ B= \log \big(\cfrac{n^2-1}{n^2}\big)^n- \log \cfrac{n-1}{n} \quad とおくと$
\begin{eqnarray*} \quad B &=&n\log \big(1-\cfrac{1}{n^2}\big)- \log \big(1-\cfrac{1}{n}\big) \\ \\ &=&n\log \big(1+\cfrac{1}{n}\big)\big(1-\cfrac{1}{n}\big)-\log \big(1-\cfrac{1}{n}\big)\\ \\ &=&n\log \big(1+\cfrac{1}{n}\big) +n\log \big(1-\cfrac{1}{n}\big)-\log \big(1-\cfrac{1}{n}\big)\\ \end{eqnarray*} $\qquad \cfrac{1}{n}=x \ \ とおくと \quad 0 < x < 1 $
$\qquad B=\cfrac{1}{x}\log \big(1+x) +\cfrac{1}{x} \log (1-x) -\log(1-x) =\cfrac{\log(1+x)+\log(1-x)-x\log(1-x)}{x}$
$\qquad 分子=f(x)\ \ とおくと \ \ B=\cfrac{f(x)}{x} \quad となり、(2)より \ \ \cfrac{f(x)}{x} > 0 \quad だから \quad B > 0$
$\quad \therefore \ \ \log \cfrac{n-1}{n} < \log \big(\cfrac{n^2-1}{n^2}\big)^n \quad よって \quad \cfrac{n-1}{n} < \big(\cfrac{n^2-1}{n^2}\big)^n $
(i),(ii)$より \quad \big(\cfrac{n^2-1}{n^2}\big)^{n+1} < \cfrac{n-1}{n} < \big(\cfrac{n^2-1}{n^2}\big)^n \quad が成り立つ。$
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