岡山大学(理系) 2022年 問題1
$A,\ B,\ C\ の \ 3\ 人で次のルールに従って一連の試合を行い、優勝者を決定する。$
$・1\ 試合目は \ A\ と \ B\ が戦う。$
$・自然数 \ n\ に対し、n+1\ 試合目は \ n\ 試合目の勝者と \ n\ 試合目に戦わなかった人が戦う。$
$・2\ 連勝した人が出た時点で、その人が優勝者となり、以後試合は行わない。$
$・すべての試合において、引き分けはないものとする。$
$A,\ B,\ C\ が互いに戦う際の勝率は次の通りとする。ただし、p\ は \ 0 < p < 1\ を満たす実数とする。$
$・A\ と \ B\ の試合:勝つ確率は \ A\ と \ B\ のどちらも \ \cfrac{1}{2}\ である。$
$・A\ と \ C\ の試合:A\ が勝つ確率は \ 1-p、C\ が勝つ確率は \ p\ である。$
$・B\ と \ C\ の試合:B\ が勝つ確率は \ 1-p、C\ が勝つ確率は \ p\ である。$
$n\ 試合目で優勝者が決定する確率を \ a_n\ とするとき、以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4\ を求めよ。$
$(2)\ \ 自然数 \ k\ に対し、a_{3k}\ を求めよ。$
$(3)\ \ C\ が優勝する確率を求めよ。$
$(4)\ \ 1\ 以上 \ 99\ 以下の自然数 \ N\ に対し \ p=\cfrac{N}{100}\ であるとする。このとき \ C\ が優勝する確率が \ \cfrac{1}{3}\ 以上になる$
$\quad ような \ N\ の最小値を求めよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ 樹形図をかいて調べますが、この問題は周期 \ 3\ で同じ状態となります。$
$(2)\ \ 3k\ 試合目での優勝者は \ C\ です。$
$(3)\ \ 無限等比級数となります。$
$(3)\ \ \sqrt{41}\ をどう評価するかです。$
(1)
$周期 \ 3\ で同じ状態となるので、横につながる樹形図よりは、下図のような回転する樹形図(?)の方がわかりやすい。$
$A,\ B,\ C\ の \ 3\ 人を三角形の頂点で表し、各辺が試合を表している。勝った場合は矢印の方向に進む。$
$A,\ B,\ C\ の \ 3\ 人の頂点は固定されているので、1\ 試合目に \ A\ が勝つと次は \ C\ と戦うので、右回りの試合で行われる。$
$1\ 試合目に \ B\ が勝つと左回りの試合で行われる。$
$\hspace{5em}1\ 試合目に \ A\ が勝った場合 \hspace{13em}1\ 試合目に \ B\ が勝った場合$
$1\ 試合目で優勝者が決まることはないから \quad a_1=0$
$2\ 試合目の優勝者は \ A\ か \ B\ であるから \quad a_2=\cfrac{1}{2} \times (1-p)+\cfrac{1}{2} \times (1-p)=1-p$
$3\ 試合目の優勝者は \ C\ であるから \quad a_3=\cfrac{1}{2} \times p \times p + \cfrac{1}{2} \times p \times p =p^2$
$4\ 試合目の優勝者は\ B\ か \ A\ であるから \quad a_4=\cfrac{1}{2} \times p \times (1-p) \times \cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{2} \times p \times (1-p) \times \cfrac{1}{2}=\cfrac{p(1-p)}{2}$
(2)
$3k\ 試合目の優勝者は \ C\ である。$
$一巡する確率は 右回り、左回りとも \ \ \cfrac{1}{2}p(1-p) \ \ だから \ \ (k-1)巡する確率は \ \ \big(\cfrac{1}{2}p(1-p)\big)^{k-1}$
$その後、右回りで \ A,\ C,\ C、左回りで \ B,\ C,\ C\ が勝てばよいからその確率はともに \ \ \cfrac{1}{2} \times p \times p$
$よって \quad a_{3k}=\big(\cfrac{1}{2}p(1-p)\big)^{k-1} \times \cfrac{1}{2} \times p \times p \times 2=p^2\big(\cfrac{p(1-p)}{2}\big)^{k-1}$
(3)
$C\ が優勝する確率 \ P(C)\ は$
\[P(C)=\sum_{k=1}^{\infty} p^2\big(\cfrac{p(1-p)}{2}\big)^{k-1}=p^2 \sum_{k=1}^{\infty} \big(\cfrac{p(1-p)}{2}\big)^{k-1}\] $無限等比級数でその公比は、r=\cfrac{p(1-p)}{2}=-\cfrac{1}{2}(p^2-p)=-\cfrac{1}{2}(p-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{1}{8}$
$0 < p < 1 \quad だから \quad 0 < r < \cfrac{1}{8} \quad よって \ P(C)\ は収束して和をもつ。$
$P(c)=p^2 \times \cfrac{1}{1-\dfrac{p(1-p)}{2}}=\cfrac{2p^2}{2-p(1-p)}=\cfrac{2p^2}{p^2-p+2}$
(4)
$P(C) \geqq \cfrac{1}{3} \quad より \quad \cfrac{2p^2}{p^2-p+2} \geqq \cfrac{1}{3}$
$p^2-p+2=(p-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{7}{4} > 0 \quad だから分母をはらってまとめると$
$5p^2+p-2 \geqq 0 \qquad 0< p < 1 \quad でこれを解いて \quad \cfrac{-1 + \sqrt{41}}{10} < p < 1$
$p=\cfrac{N}{100} \quad だから \quad \cfrac{-1 + \sqrt{41}}{10} < \cfrac{N}{100} \qquad N > 10(\sqrt{41}-1)$
$\quad 6.4^2=40.96,\quad 6.5^2=42.25 \quad だから \quad 6.4 < \sqrt{41} < 6.5 \quad よって \quad 54 < 10(\sqrt{41}-1) < 55$
$これを満たす \ N\ の最小値は \quad N=55$
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