岡山大学(理系) 2021年 問題3
$以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ n\ が整数のとき、n\ を \ 6\ で割ったときの余りと \ n^3\ を \ 6\ で割ったときの余りは等しいことを示せ。$
$(2)\ \ 整数 \ a,\ b,\ c\ が条件$
$\hspace{5em} a^3+b^3+c^3=(c+1)^3 \hspace{20em}(*)$
$\qquad を満たすとき、a+b\ を \ 6\ で割った余りは \ 1\ であることを示せ。$
$(3)\ \ 1 \leqq a \leqq b \leqq c \leqq 10 \ \ を満たす整数の組 \ (a,\ b,\ c)で、(2)の条件(*)を満たすものをすべて求めよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ n^3-n \ \ はどのような数になるかを調べます。$
$(2)\ \ a^3+b^3 \ \ はどのような数になるか調べ、(1)をつかいます。$
$(3)\ \ (2)より \ a+b\ を \ 6\ で割った余りは \ 1\ であることをつかいます。$
(1)
$n^3-n=n(n^2-1)=(n-1)n(n+1)$
$\quad n-1,\ n,\ n+1\ \ は連続する \ 3\ つの整数だから、どれかは \ 2\ の倍数であり、またどれかは \ 3\ の倍数である。$
$したがって、その積は \ 6\ の倍数であるから、$
$\quad n^3-n \equiv 0 \quad (\mod 6)\qquad すなわち \quad n^3 \equiv n \quad (\mod 6)$
$よって、n\ を \ 6\ で割ったときの余りと \ n^3\ を \ 6\ で割ったときの余りは等しい。$
$(\mod をつかわない解答)$
$n^3-n=6k\ \ (k\ は整数)とおける。$
$n\ を \ 6\ で割った余りを \ r\ とおくと \quad n=6l+r \ \ (0 \leqq r < 6) \quad とかける。$
$このとき$
$\quad n^3=n+6k=(6l+r)+6k=6(k+l)+r $
$よって、n\ を \ 6\ で割ったときの余りと \ n^3\ を \ 6\ で割ったときの余りは等しい。$
(2)
$a^3+b^3+c^3=(c+1)^3 \quad より \quad a^3+b^3=(c+1)^3-c^3=3c^2+3c+1=3c(c+1)+1$
$\quad c(c+1)\ \ は連続する \ 2\ 整数の積だから \ 2\ の倍数である。$
$\quad c(c+1)=2k \ \ (kは整数)\ とおくと \qquad a^3+b^3=6k+1$
$(1)より \ 6\ を法として \quad a^3 \equiv a ,\qquad b^3 \equiv b \quad だから$
$\quad a+b \equiv 6k+1 \equiv 1 \qquad すなわち \quad a+b \ \ を \ 6\ で割った余りは \ 1\ である。$
$(\mod をつかわない解答)$
$(1)より \ l,\ m\ を整数として \qquad a^3-a=6l,\quad b^3-b=6m \quad とおけるから$
$\quad (a^3+b^3)-(a+b)=6(l+m)$
$\quad (6k+1)-(a+b)=6(l+m)$
$\quad \therefore \ \ a+b=6(k-l-m)+1$
(3)
$c(c+1) \leqq 10 \times 11 \quad だから \quad 3c(c+1) \leqq 330$
$a^3+b^3=3c(c+1)+1 \quad より \quad a^3+b^3 \leqq 331$
$\quad 6^3=216 ,\quad 7^3=342 \quad だから \quad b \leqq 6$
$2a^3 \leqq a^3 +b^3 \leqq 331 \quad より \quad a^3 < 166 \qquad よって \quad a \leqq 5$
$(2)より、a^3+b^3=3c(c+1)+1 , \quad a+b \ \ を \ 6\ で割った余りは \ 1\ であることに注意して$
(i)$\ \ a=1,\ b=6 \quad のとき$
$\qquad 3c(c+1)+1=1^3+6^3 \qquad c(c+1)=72 \qquad c=8$
(ii)$\ \ a=2,\ b=5 \quad のとき$
$\qquad 3c(c+1)+1=2^3+5^3 \qquad c(c+1)=44 \qquad これを満たす整数 \ c\ はない。$
(iii)$\ \ a=3,\ b=4 \quad のとき$
$\qquad 3c(c+1)+1=3^3+4^3 \qquad c(c+1)=30 \qquad c=5$
$また、(a,\ b)=(3,\ 10),\ (4,\ 9),\ (5,\ 8),\ (6,\ 7)\ \ は \quad b \leqq 6 \quad を満たさない。$
$以上より \qquad (a,\ b,\ c)=(1,\ 6,\ 8),\ (3,\ 4,\ 5)\ \ の \ 2\ 組である。$
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