MY MATH NOTE

岡山大学　理系　2020年　問題3

$xyz空間におけるO(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,1),E(1,0,1),F(1,1,1),G(0,1,1)を頂点と$
$する立方体を考える。点Pは時刻 \ t=0\ に原点Oを出発し毎秒1の速さで正方形OABCの周上を点O,点A,$
$点B,点Cの順に一周する。点Qは時刻 \ t=0\ に原点Dを出発し毎秒1の速さで正方形DEFGの周上を点D,$
$点G,点F,点Eの順に一周する。線分PQが通過してできる図形と正方形OABC,正方形DEFGによって$
$囲まれる立体をKとする。以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ \alpha \ は \ \ 0 \leqq \alpha < \cfrac{1}{2}\ \ を満たすとする。平面 \ \ z=\alpha \ \ によって立体Kを切ったときの切り口の面積を求めよ。$
$(2)\ \ 立体Kの体積を求めよ。$

(1)

　
$平面 \ \ z=\alpha \ \ で切ると$
$\quad 1-u=\alpha \quad だから \quad u=1-\alpha$
$\quad x=t(1-\alpha),\quad y= \ t\alpha \quad より \ tを消去すると$

$\quad y=\cfrac{\alpha}{1-\alpha}x \quad だから点Rは直線上にある。(右図の赤い直線HIのこと)$

$さらに点P、Qが移動する場合、対称性から考えて、$
$切断面はひし形になることがわかる$

(ii)$\ \ ひし形の面積$

　
$\triangle GJI \sim \triangle GCA \quad だから \quad JI=\beta \quad とおくと$
$GJ:GC=JI:CA \qquad (1-\alpha):1=\beta :\sqrt{2} \qquad \therefore \beta=\sqrt{2}(1-\alpha)$

$ひし形の一辺 \ \ HI=\gamma \ \ は、\triangle JHI \ \ に余弦定理をもちいて$
\begin{eqnarray*} \gamma ^2 &=&1+\beta ^2-2\beta \cos 45°\\ &=&1+\beta ^2 -\sqrt{2}\beta\\ &=&1+2(1-\alpha)^2-2(1-\alpha)\\ &=&1-2\alpha +2\alpha ^2\\ \end{eqnarray*}

　
$ひし形HILMにおいて \quad MI=\delta \quad とおくと$

\begin{eqnarray*} (\cfrac{\delta}{2})^2 &=&\gamma ^2-(\cfrac{\sqrt{2}}{2})^2\\ &=&(1-2\alpha +2\alpha ^2)-\cfrac{1}{2}\\ &=&\cfrac{1}{2}(1-2\alpha)^2\\ \end{eqnarray*} $0 \leqq \alpha < \cfrac{1}{2} \quad だから \quad 　1-2\alpha > 0 \qquad \therefore \delta =\sqrt{2}(1-2\alpha)$

$よって切り口、すなわちひし形の面積Sは$

$\qquad S=\cfrac{1}{2}\times HL \times MI=\cfrac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \delta =\cfrac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{2}(1-2\alpha)=1-2\alpha$

(2)

　
$右図は立体Kの \ \ 0 \leqq z \leqq \cfrac{1}{2}\ \ の部分です。$

$意外に複雑な形をしています。$

$立体Kは、z=\cfrac{1}{2}\ \ で上下対称であるから、その体積をVとすると$
\begin{eqnarray*} V &=&2\int _0^{\small{\cfrac{1}{2}}} (1-2\alpha)d\alpha\\ &=&2\big[\alpha -\alpha ^2 \big] _0^{\small{\cfrac{1}{2}}}\\ &=&2(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{4})\\ &=&\cfrac{1}{2}\\ \end{eqnarray*}

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