岡山大学 文系 2020年 問題2
$a,\ b,\ c\ を整数とし、2次関数 \ f(x)=ax^2+bx+c\ \ を考える。ただし \ \ a \ne 0\ \ である。$
$|x| \leqq 1 \ \ を満たすすべての実数xに対して \ \ |f(x)| \leqq 1\ \ が成り立つとする。以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ a,\ b,\ c\ を \ f(1),\ f(-1),\ f(0)\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ f(x)\ をすべて求めよ。$
$(解説)$
$(2)は \ \ |f(x)| \leqq 1 \ \ を満たす領域を図示して、a,\ b\ が整数となる点(格子点といいます)を探した方が早いです。$
$\quad ただし、こうして見つけたf(x)は必要条件であるからグラフを描いて確認する必要があります。$
(1)
$f(x)=ax^2+bx+c$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} a+b+c=f(1) \hspace{8em}①\\ a-b+c=f(-1)\ \hspace{7em}②\\ \hspace{3em}c=f(0)\ \hspace{8em}③\\ \end{array} \right. \] $③を①、②に代入して$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} a+b=f(1)-f(0) \ \hspace{7em}④\\ a-b=f(-1)-f(0)\ \hspace{6em}⑤\\ \end{array} \right. \] $④+⑤$
$\quad 2a=f(1)+f(-1)-2f(0)$
$\quad a=\cfrac{1}{2}\{f(1)+f(-1)-2f(0)\}$
$④-⑤$
$\quad 2b=f(1)-f(-1)$
$\quad b=\cfrac{1}{2}\{f(1)-f(-1)\}$
(2)
$|f(0)| \leqq 1 \quad より \quad |c| \leqq 1 \qquad cは整数だから \quad c=-1,\ 0,\ 1$
(i)$\ \ c=-1 \quad のとき$
$f(x)=ax^2+bx-1\quad より$
$f(1)=a+b-1$
$|f(1)| \leqq 1 \quad だから \quad |a+b-1| \leqq 1$
$-1 \leqq a+b-1 \leqq 1 $
$\therefore \quad 0 \leqq a+b \leqq 2$
$f(-1)=a-b-1$
$|f(-1)| \leqq 1 \quad だから \quad |a-b-1| \leqq 1$
$-1 \leqq a-b-1 \leqq 1 $
$\therefore \quad 0 \leqq a-b \leqq 2$
$これを満たす整数 \ a,\ b\ は \ \ (1,1),\ (1,0),\ (1,-1),\ (2,0)$
$f(x)は順に、(1)\ \ x^2+x-1,\ \ (2)\ \ x^2-1,\ \ (3)\ \ x^2-x-1,\ \ (4)\ \ 2x^2-1$
$このうち題意を満たす関数は、f(x)=x^2-1,\ \ 2x^2-1$
(ii)$\ \ c=0 \quad のとき$
$f(x)=ax^2+bx \quad より$
$f(1)=a+b$
$|f(1)| \leqq 1 \quad だから \quad |a+b| \leqq 1$
$-1 \leqq a+b \leqq 1 $
$f(-1)=a-b$
$|f(-1)| \leqq 1 \quad だから \quad |a-b| \leqq 1$
$\therefore \quad -1 \leqq a-b \leqq 1 $
$これを満たす整数 \ a,\ b\ は \ \ (-1,0),\ (1,0)$
$f(x)は順に、(1)\ \ -x^2,\ \ (2)\ \ x^2$
$これらは題意を満たす。$
(iii)$\ \ c=1 \quad のとき$
$f(x)=ax^2+bx+1\quad より$
$f(1)=a+b+1$
$|f(1)| \leqq 1 \quad だから \quad |a+b+1| \leqq 1$
$-1 \leqq a+b+1 \leqq 1 $
$\therefore \quad -2 \leqq a+b \leqq 0$
$f(-1)=a-b+1$
$|f(-1)| \leqq 1 \quad だから \quad |a-b+1| \leqq 1$
$-1 \leqq a-b+1 \leqq 1 $
$\therefore \quad -2 \leqq a-b \leqq 0$
$これを満たす整数 \ \ a,\ b\ は \ \ (-2,0),\ \ (-1,1),\ \ (-1,0),\ \ (-1,-1)$
$f(x)は順に、(1)\ \ -2x^2+1,\ \ (2)\ \ -x^2+x+1,\ \ (3)\ \ -x^2+1,\ \ (4)\ \ -x^2-x+1$
$このうち題意を満たす関数は、f(x)=-2x^2+1,\ \ -x^2+1$
$以上より求めるf(x)は$
$x^2-1,\quad 2x^2-1,\quad -x^2,\quad x^2, \quad -2x^2+1,\quad -x^2+1$
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