お茶の水女子大学(理系B) 2022年　問題1


$a\ を実数として、曲線 \ y=\sin x \ の接線で点(2,\ a)\ を通るものを考える。以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 点(2,\ a)\ を通る接線について、接点の \ x\ 座標を \ t\ とするとき、a\ を \ t\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ (1)で求めた式を \ a=f(t)\ とおくとき、0 \leqq t \leqq \cfrac{5\pi}{2} \ における \ f(t)\ の最大値と最小値を求めよ。$
$(3)\ 点(2,\ a)\ を通り、0 \leqq x \leqq \cfrac{5\pi}{2}\ の範囲に接点の \ x\ 座標がある接線の本数が \ 3\ 本となる \ a\ の値の範囲を求めよ。$


$(解説)$

$(1)\ \ P(t,\ \sin t)\ \ における接線の方程式を求めます。$
$(2)\ \ 極大値、極小値と端点の値を比べます。$
$(3)\ \ 直線 \ y=a \ と曲線 \ y=f(t)\ の交点が \ 3\ つあるような \ a\ の値の範囲を調べます。$


(1)


$y=\sin x \quad より \quad y'=\cos x \quad だから \quad P(t,\ \sin t)\ \ における接線は$

$y=\cos t \times (x-t)+\sin t \quad \therefore \ \ y=x\cos t -t\cos t +\sin t$

$点A(2,\ a)\ \ を通るから \quad a=2\cos t -t\cos t +\sin t$

$\therefore \ \ a=(2-t)\cos t +\sin t$

(2)


$f(t)=(2-t)\cos t +\sin t \quad より \quad f'(t)=-\cos t - (2-t)\sin t +\cos t=-(2-t)\sin t$

$0 \leqq t \leqq \cfrac{5\pi}{2} \quad において \quad f'(t)=0 \quad より \quad t=2,\ 0,\ \pi,\ 2\pi$

$増減表は$
\[\qquad \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t & 0 & \cdots & 2 & \cdots & \pi & \cdots & 2\pi & \cdots & \small{\cfrac{5\pi}{2}}\\ \hline f'(t) & 0 & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(t) & 2 & \searrow & 極小 & \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow & 1 \\ \end{array} \]

　
(i)$\ \ 最大値は$

$\quad f(0)=2$

$\quad f(\pi)=(2-\pi)(-1)=\pi -2$

$\quad f(\cfrac{5\pi}{2})=(2-\cfrac{5\pi}{2}) \times 0 +\sin \cfrac{5\pi}{2}=1$

$よって \quad t=0 \ \ のとき \ \ 最大値 \ \ 2\ \ をとる。$

(ii)$\ \ 最小値は$

$\quad f(2)=\sin 2 \qquad \cfrac{\pi}{2} < 2 < \pi \quad だから \quad \sin 2 > 0$

$\quad f(2\pi)=(2-2\pi)=2(1-\pi) < 0$

$よって \quad t=2\pi \quad のとき \ \ 最小値 \ \ 2(1-\pi)\ \ をとる。$


(3)


　
$(2)より \quad a=(2-t)\cos t +\sin t \quad が異なる \ 3\ つの$
$実数解をもつような \ a\ の値の範囲を求めればよい。$

$y=a \ \ と \ \ y=(2-t)\cos t +\sin t \ \ のグラフの交点が$
$3\ つあるような \ a\ の範囲は右のグラフから$

$\qquad 1 < a < \pi -2,\quad a=\sin 2$



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