お茶の水女子大学(理学共通) 2025年　問題3


$以下の問いに答えよ。必要であれば、\dfrac{31}{10} < \pi < \dfrac{22}{7} \ \ を用いてよい。$
$(1)\ \ 0 < x < \dfrac{\pi}{2} のとき、 x < \tan x \ \ が成り立つことを示せ。$
$(2)\ \ 0 \leqq x < \dfrac{\pi}{4} のとき、\dfrac{1}{\cos^2 x} \leqq \dfrac{1}{1-x^2} \ \ が成り立つことを示せ。$
\[(3)\ \ \int_0^{\scriptsize{\dfrac{1}{8}}} \dfrac{1}{1-x^2} dx \ \ を計算せよ。\] $(4)\ \ \dfrac{7}{180}\pi < \tan 7 °< \dfrac{1}{2}\log \dfrac{9}{7} \ \ が成り立つことを示せ。$


(1)


$f(x)=\tan x -x \quad とおくと$

$f'(x)=\dfrac{1}{\cos ^2x} -1=\dfrac{1-\cos ^2x}{\cos ^2x}=\dfrac{\sin ^2x}{\cos ^2x}=\tan ^2x >0$

$f(x) は単調増加$

$f(x) > f(0)=0 \quad よって \quad x < \tan x$


(2)


$g(x)=\cos ^2x -(1-x^2) \quad とおくと$

$g'(x)=2\cos x(-\sin x)+2x=2x-\sin 2x$

$g''(x)=2-2\cos 2x=2(1-\cos x) \geqq 0$

$g'(x)\ は単調増加だから \quad g'(x) > g'(0)=0$

$g(x)\ は単調増加だから \quad g(x) \geqq g(0)=0$

$よって \quad \cos ^2x \geqq 1-x^2 \hspace{5em}①$

$0 \leqq x < \dfrac{\pi}{4} \quad より \quad \cos x \ne 0$

$\dfrac{31}{10} < \pi < \dfrac{22}{7} \quad より \quad \dfrac{31}{40} < \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{11}{14} <1 \quad よって \quad 0 \leqq x < 1 \quad だから \quad 1-x^2 \ne 0$

$①の両辺の逆数をとって \quad \dfrac{1}{\cos^2 x} \leqq \dfrac{1}{1-x^2} \quad が成り立つ。ただし等号は \ \ x=1\ \ のとき$


(3)

\begin{eqnarray*} I &=&\int_0^{\scriptsize{\dfrac{1}{8}}} \dfrac{1}{1-x^2} dx \\ \\ &=&\int_0^{\scriptsize{\dfrac{1}{8}}} \dfrac{dx}{(1-x)(1+x)}\\ \\ &=&\dfrac{1}{2} \int_0^{\scriptsize{\dfrac{1}{8}}} \big(\dfrac{1}{1-x} + \dfrac{1}{1+x}\big)dx\\ \\ &=&\dfrac{1}{2} \big[-\log(1-x)+\log(1+x)\big]_0^{\scriptsize{\dfrac{1}{8}}}\\ \\ &=&\dfrac{1}{2} \big(-\log \dfrac{7}{8}+\log \dfrac{9}{8}\big)\\ \\ &=&\dfrac{1}{2} \log \dfrac{9}{7} \end{eqnarray*}

(4)


(i)$ \ \ \dfrac{7}{180}\pi < \tan 7 °\quad の証明$

$1°=\dfrac{\pi}{180}\ \ ラジアン \ \ だから \quad 7°=\dfrac{7}{180}\pi \ \ ラジアン$

$(1) より \quad x < \tan x \quad が成り立つから \quad x=\dfrac{7}{180}\pi \quad とおくと$

$\dfrac{7}{180}\pi < \tan \dfrac{7}{180}\pi \quad よって \quad \dfrac{7}{180}\pi < \tan 7°$


(ii)$\ \ \tan 7° < \dfrac{1}{2}\log \dfrac{9}{7} \quad の証明$

$(2)より\ \ 0 \leqq x < \dfrac{\pi}{4} \quad のとき \quad \dfrac{1}{\cos^2 x} < \dfrac{1}{1-x^2} $

\[\dfrac{1}{8} < \dfrac{\pi}{4} \quad だから \quad \int_0^{\scriptsize{\dfrac{1}{8}}} \dfrac{1}{\cos^2 x}dx < \int_0^{\scriptsize{\dfrac{1}{8}}} \dfrac{1}{1-x^2}dx \]
\[\int_0^{\scriptsize{\dfrac{1}{8}}} \dfrac{1}{\cos^2 x}dx=\big[\tan x\big]_0^{\scriptsize{\dfrac{1}{8}}}=\tan \dfrac{1}{8},\qquad (3) より \quad \int_0^{\scriptsize{\dfrac{1}{8}}} \dfrac{1}{1-x^2}dx=\dfrac{1}{2} \log \dfrac{9}{7}\]
$よって \quad \tan \dfrac{1}{8} < \dfrac{1}{2} \log \dfrac{9}{7}$

$ここで、\dfrac{7}{180}\pi <\dfrac{7}{180} \times \dfrac{22}{7}=\dfrac{22}{180}=\dfrac{88}{720} < \dfrac{90}{720} =\dfrac{1}{8}$

$よって \quad \tan 7°=\tan \dfrac{7}{180}\pi < \tan \dfrac{1}{8}$

$ゆえに \quad \tan 7°< \tan \dfrac{1}{8} < \dfrac{1}{2} \log \dfrac{9}{7}$

(i),(ii) $より \quad \ \dfrac{7}{180}\pi < \tan 7 °< \dfrac{1}{2}\log \dfrac{9}{7}$


ページの先頭へ↑




メインメニュー　に戻る