お茶の水女子大学(理学共通) 2025年 問題1
$k\ を自然数とする。赤玉 \ 1\ 個と白玉 \ 10\ 個と黒玉 \ 4\ 個を一つの袋に入れ、玉を \ 1\ 個取り出し元に戻す試行を$
$繰り返す。a_k\ を以下のルールによって定める。$
$・k\ 個目の試行で赤玉を取り出した場合には \ \ a_k=1\ \ とする。$
$・k\ 個目の試行で白玉を取り出した場合には \ \ a_k=2\ \ とする。$
$・k\ 個目の試行で黒玉を取り出した場合には \ \ a_k=3\ \ とする。$
\[また、自然数 \ n\ に対し、 x_n=\sum_{k=1}^n 4^{n-k}a_k=4^{n-1}a_1+4^{n-2}a_2+ \cdots +4a_{n-1}+a_n\]
$とおく。以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 2回の試行を行い、1回目の試行で白玉、2回目の試行で黒玉を取り出したときのx_2 を求めよ。$
$(2)\ \ 3\ 回の試行を行ったとき、x_3\ が \ 42\ 未満の偶数となる確率を求めよ。$
$(3)\ \ 2\ 回の試行を行い、a_1\ と \ a_2 \ が異なる値であったとき、x_2\ が \ 7\ の倍数である条件付き確率を求めよ。$
$(4)\ \ n\ 回の試行を行ったとき、x_1+x_2+\cdots + x_n \ \ が偶数となる確率 \ P_n\ を求めよ。$
(1)
$1\ 回目に白玉を取り出すから \ \ a_1=2,\quad 2\ 回目に黒玉を取り出すから \ \ a_2=3$
$x_2=4a_1+a_2=4 \times 2+3=11$
(2)
$x_3=4^2a_1+4a_2+a_3 \ \ が偶数だから \ \ a_3\ \ は偶数 \quad よって \quad a_3=2$
$x_3=4^2a_1+4a_2+2 < 42 \quad より \quad 16a_1+4a_2 < 40$
$\therefore \ \ 4a_1+a_2 < 10$
(i)$\ \ a_1=1 \ \ のとき \quad a_2 < 6 \ \ より \quad a_2=1,\ 2,\ 3$
(ii)$\ \ a_1=2 \ \ のとき \quad a_2 < 2 \ \ より \quad a_2=1$
(iii)$\ \ a_1=3 \ \ のとき \quad a_2 < -2 \ \ となりこれをみたす \ a_2\ はない$
$よって、x_3\ が \ 42\ 未満の偶数となる根元事象は$
$(a_1,\ a_2,\ a_3)=(1,\ 1,\ 2),\ \ (1,\ 2,\ 2),\ \ (1,\ 3,\ 2),\ \ (2,\ 1,\ 2) \ \ の \ 4\ 通り$
$k\ 回目の試行が \ a_k \ である確率を \ P(a_k)\ とすると \quad P(1)=\dfrac{1}{15},\quad P(2)=\dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3},\quad P(3)=\dfrac{4}{15}$
$3\ 回の試行で、(a_1,\ a_2,\ a_3)\ である確率を \ \ P(a_1,\ a_2,\ a_3)\ \ と表すと各回は独立試行であるから$
$P(a_1,\ a_2,\ a_3)=P(a_1)P(a_2)P(a_3)$
$よって$
$P(1,\ 1,\ 2)=\dfrac{1}{15} \times \dfrac{1}{15} \times \dfrac{2}{3} =\dfrac{2}{675}$
$P(1,\ 2,\ 2)=\dfrac{1}{15} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} =\dfrac{4}{135}=\dfrac{20}{675}$
$P(1,\ 3,\ 2)=\dfrac{1}{15} \times \dfrac{4}{15} \times \dfrac{2}{3} =\dfrac{8}{675}$
$P(2,\ 1,\ 2)=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{15} \times \dfrac{2}{3} =\dfrac{4}{135}=\dfrac{20}{675}$
$これらは互いに排反だから求める確率 \ P\ は$
$P=\dfrac{2}{675}+\dfrac{20}{675}+\dfrac{8}{675}+\dfrac{20}{675}=\dfrac{50}{675}=\dfrac{2}{27}$
(3)
$2\ 回の試行で \ \ a_1 \ne a_2 \ \ となるのは$
(i)$\ \ a_1=1,\ \ a_2=2 \ \ のとき \quad P(1,\ 2)=\dfrac{1}{15} \times \dfrac{10}{15}=\dfrac{10}{225},\qquad x_2=4 \times 1 + 2=6$
(ii)$\ \ a_1=1,\ \ a_2=3 \ \ のとき \quad P(1,\ 3)=\dfrac{1}{15} \times \dfrac{4}{15}=\dfrac{4}{225},\qquad x_2=4 \times 1 + 3=7$
(iii)$\ \ a_1=2,\ \ a_2=1 \ \ のとき \quad P(2,\ 1)=\dfrac{10}{15} \times \dfrac{1}{15}=\dfrac{10}{225},\qquad x_2=4 \times 2 + 1=9$
(iv)$\ \ a_1=2,\ \ a_2=3 \ \ のとき \quad P(2,\ 3)=\dfrac{10}{15} \times \dfrac{4}{15}=\dfrac{40}{225},\qquad x_2=4 \times 2 + 3=11$
(v)$\ \ a_1=3,\ \ a_2=1 \ \ のとき \quad P(3,\ 1)=\dfrac{4}{15} \times \dfrac{1}{15}=\dfrac{4}{225},\qquad x_2=4 \times 3 + 1=13$
(vi)$\ \ a_1=3,\ \ a_2=2 \ \ のとき \quad P(3,\ 2)=\dfrac{4}{15} \times \dfrac{10}{15}=\dfrac{40}{225},\qquad x_2=4 \times 3 + 2=14$
$よって \quad a_1 \ne a_2 \ \ である確率 \ \ P(a_1 \ne a_2)\ は$
$P(a_1 \ne a_2)=\dfrac{1}{225}(10+4+10+40+4+40)=\dfrac{108}{225}$
$このうち \ \ x_2\ が \ 7\ の倍数となる事象 \ A\ は \ \ $(ii),(vi)$\ \ の場合だからこの確率は \quad P(A)=\dfrac{4}{225}+\dfrac{40}{225}=\dfrac{44}{225}$
$よって a_1 \ne a_2 であったとき、x_2\ が \ 7\ の倍数である条件付き確率Pは$
$P=\dfrac{P(a_1 \ne a_2 \cap A)}{P(a_1 \ne a_2)}=\dfrac{\dfrac{44}{225}}{\dfrac{108}{225}}=\dfrac{44}{108}=\dfrac{11}{27}$
(4)
$便宜上 \ \ x_0=0 \ \ とし、S_n=x_1+x_2+\cdots + x_n ,\quad T_n=a_1+a_2+ \cdots +a_n \ \ とおくと$
\begin{eqnarray*} x_n &=&4^{n-1}a_1+4^{n-2}a_2+ \cdots +4a_{n-1}+a_n \\ \\ &=&4\big(4^{n-2}a_1+4^{n-3}a_2+ \cdots +a_{n-1}\big)+a_n \\ \\ &=&4x_{n-1}+a_n \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} S_n &=&\sum_{i=1}^n x_i\\ \\ &=&\sum_{i=1}^n (4x_{i-1}+a_i)\\ \\ &=&4\sum_{i=1}^n x_{i-1}+ \sum_{i=1}^na_i\\ \\ &=&4S_{n-1}+ T_n\\ \end{eqnarray*} \[S_{n+1}=4S_n+ +T_{n+1}=4S_n +T_n +a_{n+1} \quad だから\] $S_{n+1} \ が偶数となるのは \ \ T_n+a_{n+1}\ \ が偶数になるときで$
(i)$\ \ T_n \ が偶数で、かつ \ \ a_{n+1}\ も偶数の場合$
$\quad この確率は \quad P_n \times \dfrac{10}{15}$
(ii)$\ \ T_n \ が奇数で、かつ \ \ a_{n*1}\ も奇数の場合$
$\quad この確率は \quad (1-P_n) \times \dfrac{5}{15}$
(i),(ii)$\ \ は互いに排反だから$
$P_{n+1}= P_n \times \dfrac{10}{15}+ (1-P_n) \times \dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}P_n+\dfrac{1}{3}$
$よって\ \ 隣接 \ 2\ 項間の漸化式 \quad P_{n+1}= \dfrac{1}{3}P_n+\dfrac{1}{3}\quad を解けばよい。$
$ただし P_1 \ は \ T_1=a_1 \ が偶数である確率だから \ \ a_1=2 \ \ となる場合で、P_1=\dfrac{2}{3}$
$特性方程式 \quad t=\dfrac{1}{3}t+\dfrac{1}{3} \quadを解いて \quad t=\dfrac{1}{2} \quad だから$
$P_{n+1}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}(P_n-\dfrac{1}{2})$
\begin{eqnarray*} P_n - \dfrac{1}{2} &=&(P_1 - \dfrac{1}{2})\big(\dfrac{1}{3}\big)^{n-1}\\ \\ &=&(\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2})\big(\dfrac{1}{3}\big)^{n-1}\\ \\ &=&\dfrac{1}{6}\big(\dfrac{1}{3}\big)^{n-1}\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}\big(\dfrac{1}{3}\big)^n\\ \end{eqnarray*} $\therefore \ \ P_n=\dfrac{1}{2}\big(1+\big(\dfrac{1}{3}\big)^n\big)$
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