お茶の水女子大学(理学共通) 2023年　問題3


\[f(x)=\int_0^x \cfrac{1}{\sqrt{1+t^4}} dt \ \ とおく。以下の問いに答えよ。\] $(1)\ \ y=\log(x+\sqrt{1+x^2})\ \ を微分せよ。$
$(2)\ \ 0 < x \leqq 1 \ \ において、\log(x+\sqrt{1+x^2}) < f(x) < x\ \ が成り立つことを示せ。$
$(3)\ \ x >1 \ \ において、曲線 \ y=\log(x+\sqrt{1+x^2})\ と曲線 \ y=f(x)\ は共有点をちょうど \ 1\ つもつことを示せ。$


(1)


$y=\log(x+\sqrt{1+x^2})\ \ より$

$y'=\cfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\cfrac{\sqrt{1+x^2}+x}{(x+\sqrt{1+x^2}) \sqrt{1+x^2}}=\cfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$


(2)


(i)$\ \ f(x) < x \quad の証明$

$\quad \sqrt{1+t^4} \geqq 1 \quad だから \quad \cfrac{1}{\sqrt{1+t^4}} \leqq 1$

\[\quad x \geqq 0 \quad だから \quad \int _0^x \cfrac{dt}{\sqrt{1+t^4}} \leqq \int _0^x dt=x\]
(ii)$\ \ \log(x+\sqrt{1+x^2}) < f(x) \quad の証明$

$\quad g(x)=f(x) - \log(x+\sqrt{1+x^2}) \quad とおくと \ \ (1)より$

$\quad g'(x)=f'(x) - \cfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\cfrac{1}{\sqrt{1+x^4}}- \cfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} $

$\quad 0 < x \leqq 1 \quad より \quad x^4 \leqq x^2 \qquad {\sqrt{1+x^4}} \leqq \sqrt{1+x^2} \qquad \therefore \ \ \cfrac{1}{\sqrt{1+x^4}} \geqq \cfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} $

$\quad よって \quad g'(x) \geqq 0 \quad ただし \ \ 等号は \quad x=1 \ \ のときのみ$

$\quad g(x)\ は単調増加だから \quad g(x) > g(0)=f(0)-\log 1=0$

$\quad ゆえに \quad \log(x+\sqrt{1+x^2}) < f(x) $

(i),(ii)$\ \ より \quad \log(x+\sqrt{1+x^2}) < f(x) < x$


(3)


$x > 1 \ \ のときも(2)同様 \quad g(x)=f(x)- \log(x+\sqrt{1+x^2}) \quad とおく$

$(2)より \quad g'(x)=\cfrac{1}{\sqrt{1+x^4}}- \cfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

$x > 1 \quad より \quad x^4 > x^2 \qquad {\sqrt{1+x^4}} > \sqrt{1+x^2} \qquad \therefore \ \ \cfrac{1}{\sqrt{1+x^4}} < \cfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} $

$よって　g'(x) < 0 \quad だから \quad g(x)\ は \ x > 1\ で単調減少$

\begin{eqnarray*} g(x) &=&\int _0^x \cfrac{1}{\sqrt{1+t^4}}dt - \log(x+\sqrt{1+x^2})\\ \\ &=&\int _0^1 \cfrac{1}{\sqrt{1+t^4}}dt + \int _1^x \cfrac{1}{\sqrt{1+t^4}} dt- \log(x+\sqrt{1+x^2}) \end{eqnarray*}
$第 \ 2\ 項において \quad 1+t^4 > t^4 \quad より \quad \cfrac{1}{1+t^4} < \cfrac{1}{t^4} \qquad \therefore \ \ \cfrac{1}{\sqrt{1+t^4}} < \cfrac{1}{t^2}$

\[第 \ 2\ 項=\int _1^x \cfrac{1}{\sqrt{1+t^4}}dt < \int _1^x \cfrac{dt}{t^2} =\big[-\cfrac{1}{t}\big]_1^x=1-\cfrac{1}{x}<1\] \[第 \ 1\ 項=\int _0^1 \cfrac{1}{\sqrt{1+t^4}}dt \quad はある定数だから \quad x \longrightarrow \infty \quad のとき \quad g(x) \longrightarrow -\infty\]

　

$(2)より \ \ g(1)>0 \quad だから \ \ 中間値の定理により \ \ g(\alpha) =0 \ \ となる \ \alpha \ \ (\alpha >1)\ \ が$

$ただ \ 1\ つ存在する。$

$g(\alpha)=f(\alpha)- \log(\alpha+\sqrt{1+\alpha^2}) =0 \quad だから$

$x >1 \ \ において、曲線 \ y=\log(x+\sqrt{1+x^2})\ と曲線 \ y=f(x)\ は$

$共有点をちょうど \ 1\ つもつ。$


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