お茶の水女子大学(理共通) 2022年 問題3
$t\ を正の実数として、関数 \ f(x)=e^{-x^2}\ について、曲線 \ y=f(x)\ 上の点 \ (t,\ f(t))\ における接線を \ l\ とおく。$
$また、l\ と \ x\ 軸との交点の \ x\ 座標を \ a\ とおき、l\ と \ y\ 軸との交点の \ y\ 座標を \ b\ とおく。以下の問いに答えよ。$
\[(1)\ \ y=f(x)\ の極値、変曲点、極限 \ \ \lim_{x \rightarrow \infty}f(x), \quad \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)\ \ を求めよ。また、y=f(x)\ のグラフの概形を描け。\]
$(2)\ \ 実数 \ t\ が \ \ t > 0\ \ の範囲を動いたときの \ b\ の最大値を求めよ。$
$(3)\ \ 実数 \ t\ が \ \ t > 0\ \ の範囲を動いたときの \ b-a\ の最大値を求めよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ f'(x),f''(x)\ をとって増減表をつくります。$
$(2)\ \ 接線 \ l\ を求めて、b\ を求めます。b\ は \ t\ の関数ですから \ t\ で微分して最大値を求めます。$
$(3)\ \ b-a\ を \ t\ の関数で表して微分してもその先に進めません。b-a \ が最大になるのはどのようなときかを考えます。$
(1)
$f(x)\ は偶関数だから \ \ x \geqq 0\ \ を調べればよい。$
$f'(x)=-2xe^{-x^2} \qquad f'(x)=0 \quad より \quad x=0$
$f''(x)=-2e^{-x^2}+4x^2e^{-x^2}=2(2x^2-1)e^{-x^2} \qquad f''(x)=0 \quad より \quad x=\cfrac{1}{\sqrt{2}}$
$増減表は$
\[\qquad \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & 0 & \cdots & \small{\cfrac{1}{\sqrt{2}}} & \cdots \\ \hline f'(x) & 0 & - & - & - \\ \hline f''(x) & - & - & 0 & + \\ \hline f(x) & 極大 & \large{⤵} & 変曲点 & \large{⤷} \\ \end{array} \]
$x=0 \ \ で極大となり、極大値は \ \ y=1$
$変曲点は \ \ 点(\pm \cfrac{1}{\sqrt{2}},\ \cfrac{1}{\sqrt{e}}) $
\[\lim_{x \rightarrow \infty}f(x)=0, \quad \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=0 \quad だから \ x\ 軸は漸近線\]
$グラフは右のとおり$
$なお、f(x)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2} \ \ は標準正規分布曲線です。$
(2)
$点P(t,\ f(t))\ における接線 \ l\ は$
$y=-2te^{-t^2}(x-t)+e^{-t^2} \qquad すなわち \quad y=-2te^{-t^2}x +(2t^2+1)e^{-t^2}$
$x=0 \quad のとき \quad y=b \quad だから \quad b=(2t^2+1)e^{-t^2}$
$b'=4te^{-t^2}-2t(2t^2+1)e^{-t^2}=-2t(2t^2-1)e^{-t^2}$
\[\qquad
\begin{array}{c||c|c|c|c|c}
t & 0 & \cdots & \small{\cfrac{1}{\sqrt{2}}} & \cdots \\
\hline
b'& & + & 0 & - \\
\hline
b & & \nearrow & 極大 & \searrow \\
\end{array}
\]
$t=\cfrac{1}{\sqrt{2}} \ \ で極大かつ最大 \qquad 最大値は \ \ b=(2 \times \cfrac{1}{2}+1)e^{-{\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}})=\cfrac{2}{\sqrt{e}}$
(3)
$(2)の接線 \ l\ で、y=0\ \ とおくと \ \ x=a \ \ だから \ \ 0=-2te^{-t^2}a +(2t^2+1)e^{-t^2} $
$\quad a=\cfrac{(2t^2+1)e^{-t^2}}{2te^{-t^2}}=t+\cfrac{1}{2t}$
$(a,\ 0),(0,\ b)\ は直線 \ l\ 上の点だから、b\ が最大のとき、a\ は最小となり、b-a\ は最大となる。$
$b\ が最大となるのは、(2)より \quad t=\cfrac{1}{\sqrt{2}} \quad のときだから$
$\quad b=\cfrac{2}{\sqrt{e}},\qquad a=\cfrac{1}{\sqrt{2}}+\cfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
$よって \quad b-a \ \ の最大値は \quad \cfrac{2}{\sqrt{e}}-\sqrt{2}$
メインメニュー に戻る