お茶の水女子大学(理系) 2022年 問題2
$関数\ f(x)=\sqrt{x+6}\ \ (x \geqq -6)\ について考える。また、数列 \ \{a_n\}\ を \ a_1=0,\ \ a_{n+1}=f(a_n) \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$\quad で定める。以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 方程式 \ f(c)=c \ をみたす \ c\ の値を求めよ。$
$(2)\ \ (1)で求めた \ c\ に対して、直線 \ x=c,\ \ 曲線 \ y=f(x),\ \ x\ 軸で囲まれる図形を \ x\ 軸のまわりに \ 1\ 回転して$
$\quad できる立体の体積を求めよ。$
$(3)\ \ (1)で求めた \ c\ と、すべての自然数 \ n\ に対して \ \ a_n < c \ \ となることを示せ。$
$(4)\ \ (1)で求めた \ c\ と、すべての自然数 \ n\ に対して \ \ |f(a_n)-c| \leqq |a_n -c| \ \ となることを示せ。$
\[(5)\ \ (1)で求めた \ c\ に対して、\lim _{n \rightarrow \infty} a_n =c \ \ となることを示せ。\]
$(解説)$
$この問題は$大阪大学(理系)2022年 問題4$に類似しているので参考にしてください。$
$(1)\ \ 両辺平方すれば簡単に解けます。$
$(2)\ \ この問題の趣旨からは逸脱していますが、単なる計算問題です。$
$(3)\ \ 数学的帰納法で示します。$
$(4)\ \ 分子を有理化します。$
$(5)\ \ はさみうちの原理で示します。$
(1)
$\quad f(c)=c \quad より \quad \sqrt{c+6}=c \qquad c+6=c^2 \qquad c^2-c-6=0$
$\quad (c+2)(c-3)=0 \quad c > 0 \quad だから \quad c=3$
(2)
\begin{eqnarray*}
\quad
V
&=&\pi \int _{-6}^3 y^2dx\\
\\
&=&\pi \int _{-6}^3 (x+6)dx\\
\\
&=&\pi \big[\cfrac{x^2}{2}+6x\big]_{-6}^3\\
\\
&=&\cfrac{81}{2}\pi
\end{eqnarray*}
(3)
$\quad a_n < 3 \quad であることを数学的帰納法で示す。$
$\quad $(i)$\ \ a_1=0 < 3 \quad だから \ \ n=1 \ のとき成りたつ。$
$\quad $(ii)$\ \ n=k \ \ のとき成りたつとすると \quad a_k < 3$
$\quad このとき \quad a_{k+1}=f(a_k)=\sqrt{a_k+6}$
$\qquad 3^2-(a_k+6)=3-a_k > 0 \qquad よって \quad 0 < a_k+6 < 3^2$
$\quad \therefore \ \ \sqrt{a_k+6} < 3 \quad したがって \quad a_{k+1} <3 \quad となって \ \ n=k+1 \ のときも成りたつ。$
(i),(ii)$\ \ より すべての自然数 \ n\ に対して \quad a_n <3$
(4)
\begin{eqnarray*} \quad & &|f(a_n)-3|\\ \\ &=&|\sqrt{a_n+6}-3|\\ \\ &=&\cfrac{|(a_n+6)-9|}{\sqrt{a_n+6}+3}\\ \\ &=&\cfrac{|a_n-3|}{\sqrt{a_n+6}+3}\\ \\ &<&\cfrac{1}{3}|a_n-3|\\ \end{eqnarray*}
(5)
$\quad (4) より \quad |f(a_n)-3|< \cfrac{1}{3}|a_n-3| \quad だから \quad |a_{n+1}-3|< \cfrac{1}{3}|a_n-3| \quad を繰り返しつかって$
$\quad |a_n-3|< \cfrac{1}{3}|a_{n-1}-3| < \big(\cfrac{1}{3}\big)^2|a_{n-2}-3| < \cdots < \big(\cfrac{1}{3}\big)^{n-1}|a_1-3|= \big(\cfrac{1}{3}\big)^{n-1}\cdot 3= \big(\cfrac{1}{3}\big)^{n-2}$
$\quad n \longrightarrow \infty \quad のとき \quad 右辺 \longrightarrow 0$
$\quad 0 < 左辺 \quad だから、はさみうちの原理により \quad a_n \longrightarrow 0$
\[したがって \quad \lim _{n \rightarrow \infty } a_n =3 \]
$右のグラフは、a_1=0,\quad a_{n+1}=f(a_n) \ \ で定められる数列 \ \{a_n\} \ が \ f(x)=x \ の$
$解 \ c=3\ に収束する様子を図示したものです。$
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