お茶の水女子大学 2021年 B問題1
$以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ k^2+2 \ が素数となるような素数 \ k\ をすべてみつけよ。また、それ以外にないことを示せ。$
$(2)\ \ 整数 \ l\ が \ 5\ で割り切れないとき、l^4-1 \ が \ 5\ で割り切れることを示せ。$
$(3)\ \ m^4+4\ が素数となるような素数 \ m\ は存在しないことを示せ。$
$(解説)$
$(1)\ \ 2\ 以外の素数は奇数です。k\ を法 \ 3\ で類別するとうまくいきます。$
$(2)\ \ l\ を法 \ 5\ で類別することになります。$
$(3)\ \ (2)がつかえるように考えましょう。$
(1)
$\quad k=2\ \ は素数であるが、k^2+2=6\ \ \ は素数でない。$
$\quad n\ を正の整数として \ k\ を法 \ 3\ (3で割った余り)\ で類別(分類)\ すると$
(i)$\ \ k=3n \ \ のとき $
$\quad n=1 \ \ のとき \quad k=3 \ \ は素数であり、k^2+2=3^2+2=11 \ \ も素数である。$
$\quad n \ne 1 \ \ のとき \quad k=3n \ \ は\ 3\ の倍数だから素数でない。$
(ii)$\ \ k=3n+1 \ \ のとき$
$\quad k^2+2=(3n+1)^2+2=9n^2+6n+3=3(3n^2+2n+1)$
$\quad これは \ 3\ の倍数だから素数でない。$
(iii)$\ \ k=3n+2 \ \ のとき$
$\quad k^2+2=(3n+2)^2+2=9n^2+12n+6=3(3n^2+4n+2)$
$\quad これは \ 3\ の倍数だから素数でない。$
(i),(ii),(iii)$より\ k^2+2 \ が素数となるような素数 \ k\ は \ \ k=3\ \ のみである。$
(2)
$\quad n\ を正の整数として$
(i)$\ \ l=5n \pm 1 \ \ のとき$
\begin{eqnarray*} l^4-1 &=&(5n \pm 1)^4-1\\ \\ &=&(5n)^4+ 4(5n)^3(\pm 1) + 6(5n)^2(\pm 1)^2 + 4(5n)(\pm 1)^3 + (\pm 1)^4 -1\\ \\ &=&(5n)^4 \pm 4(5n)^3 + 6(5n)^2 \pm 4(5n) \\ \\ &=&5(125n^4 \pm 100n^3 + 30n^2 \pm 4n) \\ \end{eqnarray*} $\qquad これは \ 5\ で割り切れる。$
(ii)$\ \ l=5n \pm 2 \ \ のとき$
\begin{eqnarray*} l^4-1 &=&(5n \pm 2)^4-1\\ \\ &=&(5n)^4+ 4(5n)^3(\pm 2) + 6(5n)^2(\pm 2)^2 + 4(5n)(\pm 2)^3 + (\pm 2)^4 -1\\ \\ &=&(5n)^4 \pm 8(5n)^3 + 24(5n)^2 \pm 32(5n) + 15 \\ \\ &=&5(125n^4 \pm 200n^3 + 120n^2 \pm 32n +3) \\ \end{eqnarray*} $\quad これは \ 5\ で割り切れる。$
(i),(ii)$より \ l\ が \ 5\ で割り切れないとき、l^4-1\ は \ 5\ で割り切れる。$
$(補充)$
$一般に、a\ は整数、p\ は素数で a,\ p\ は互いに素のとき \quad a^{p-1} \equiv 1 \quad (mod \ \ p)$
$がなりたち、これをフェルマーの定理といいます。$
$フェルマーの定理について$ フェルマーの小定理$を参照してください。$
(3)
(i)$\ \ m=2 \ \ は素数であるが、m^4+4=2^4+4=20\ \ は素数でない。$
$\quad n\ を正の整数として \ m\ を法 \ 5\ (5で割った余り)\ で類別(分類)\ すると$
(ii)$\ \ m=5n \ \ のとき$
$\quad n=1 \ \ のとき \quad m=5 \ \ は素数であるが、m^4+4=5^4+4=629=17 \times 37 \ \ と素因数分解できるので素数でない。$
$\quad n \ne 0 \ \ のとき \quad m=5n \ \ は \ 5\ の倍数だから素数でない。$
(iii)$\ \ m=5n \pm 1,\quad 5n \pm 2 \ \ のとき$
$\quad (2)より \quad m^4 -1 \ \ は \ 5\ の倍数だから$
$\quad m^4+4=(m^4-1)+5 \ \ は、5\ の倍数となり、素数でない。$
(i) ～(iv)$より \quad m^4+4 \ \ が素数となるような素数 \ m\ は存在しない。$
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