新潟大学(理系) 2023年 問題5
$複素数平面上の点 \ z\ が原点を中心とする半径 \ 1\ の円周上を動くとし、w=-\cfrac{2(2z-i)}{z+1} \ \ (z \ne -1)\ とする。$
$ただし、i\ は虚数単位とする。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ z=i \ のときの \ w\ の実部と虚部を求めよ。$
$(2)\ \ z\ を \ w\ を用いて表せ。$
$(3)\ \ 点 \ w\ の描く図形を複素数平面上に図示せよ。$
$(4)\ \ |w|\ の最小値とそれを与える \ z\ を求めよ。$
(1)
$z=i\ を \ w\ に代入して$
$\quad w=-\cfrac{2(2i-i)}{i+1}=-\cfrac{2i}{1+i}=-\cfrac{2i(1-i)}{2}=-1-i$
$よって \quad w\ の実部は \ \ -1, \quad 虚部は \ \ -1$
(2)
$w=-\cfrac{2(2z-i)}{z+1}=-\cfrac{4(z+1)-4-2i)}{z+1}=-4+\cfrac{4+2i}{z+1} \quad より$
$w+4=\cfrac{4+2i}{z+1}$
$右辺 \ne 0 \quad だから \quad w \ne -4$
$\therefore \ \ z+1=\cfrac{4+2i}{w+4}$
$よって \quad z=-1+\cfrac{4+2i}{w+4}=-\cfrac{w-2i}{w+4}$
(3)
$z\ は原点を中心とする半径 \ 1\ の円周上を動くから \quad |z|=1$
$よって(2)より \quad \big|\cfrac{w-2i}{w+4}\big|=1$
$|w+4|=|w-2i| \quad \therefore |w+4|^2=|w-2i|^2$
$(w+4)(\overline{w+4})=(w-2i)(\overline{w-2i})$
$w\overline{w}+4w +4\overline{w} +16=w\overline{w}+2iw-2i\overline{w}+4$
$2(w+\overline{w})-i(w-\overline{w})+6=0$
$w=x+yi \quad とおくと \quad \overline{w}=x-yi \quad だから$
$4x-i \times 2yi +6=0$
$2x+y+3=0 \qquad \therefore \ \ y=-2x-3$
$点 \ w\ の描く図形は右図のとおりで、2\ 点A(2i)\ と \ B(-4)\ を結ぶ線分の垂直二等分線である。$
(4)
$(3)より$
\begin{eqnarray*} |w|^2 &=&x^2+y^2\\ \\ &=&x^2+(-2x-3)^2\\ \\ &=&5x^2+12x+9\\ \\ &=&5(x+\cfrac{6}{5})^2+\cfrac{9}{5}\\ \end{eqnarray*}
$このとき \quad y=-2 \times \big(-\cfrac{6}{5}\big)-3=-\cfrac{3}{5}$
$したがって \quad |w|\ は \ \ w=-\cfrac{6}{5} -\cfrac{3}{5}i \ \ のとき \ \ 最小値 \quad \cfrac{3}{\sqrt{5}} \ \ をとる。$
$このとき(2)より$
$z=-\cfrac{w-2i}{w+4}=-\cfrac{-\dfrac{6+3i}{5} -2i}{-\dfrac{6+3i}{5} +4}=\cfrac{6+13i}{14-3i}=\cfrac{(6+13i)(14+3i)}{14^2+3^2}=\cfrac{45+200i}{205}=\cfrac{9}{41}+\cfrac{40}{41}i$
$(参考)$
$この最小値は \ xy\ 座標平面で考えると$
$円 \ \ x^2+y^2=1 \ \ が直線 \ \ 2x+y+3=0 \ \ に接するときの半径であり、これはまた原点と直線の距離でもあるから$
$d=\cfrac{3}{\sqrt{2^2+1^2}}=\cfrac{3}{\sqrt{5}} \quad でも求まる。$
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