新潟大学(理系) 2023年 問題4
$a,\ b\ を正の数とし、座標平面上の曲線 \ C_1:y=e^{ax},\quad C_2:y=\sqrt{2x-b}\ \ を考える。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 関数 \ \ y=e^{ax}\ \ と関数 \ \ y=\sqrt{2x-b}\ \ の導関数を求めよ。$
$(2)\ \ 曲線 \ C_1\ と曲線 \ C_2\ が \ 1\ 点 \ P\ を共有し、その点において共通の接線をもつとする。$
$\quad このとき、b と点 \ P\ の座標を \ a\ を用いて表せ。$
$(3)\ \ (2)において、曲線 \ C_1,\ \ 曲線 \ \ C_2,\ \ x\ 軸,\ \ y軸で囲まれる図形の面積を \ a\ を用いて表せ。$
(1)
$y=e^{ax} \quad については \quad y'=ae^{ax}$
$y=\sqrt{2x-b} \quad については \quad y'=\cfrac{2}{2\sqrt{2x-b}}=\cfrac{1}{\sqrt{2x-b}}$
(2)
$点 \ P\ の座標を \ P(c,\ e^{ac}) \quad とおくと$
$点\ P\ を共有するから \quad e^{ac}=\sqrt{2c-b} \hspace{13.5em}①$
$点\ P\ において共通の接線をもつから \quad ae^{ac}=\cfrac{1}{\sqrt{2c-b}} \hspace{5em}②$
$①を②に代入して \quad ae^{ac}=\cfrac{1}{e^{ac}}$
$e^{2ac}=\cfrac{1}{a} \qquad e^{ac}=\cfrac{1}{\sqrt{a}}$
$また、対数をとって \quad 2ac=\log \cfrac{1}{a} \qquad c=-\cfrac{\log a}{2a} \hspace{9em}③$
$よって、 P(c,\ e^{ac}) \ \ は \ \ P(-\cfrac{\log a}{2a},\ \cfrac{1}{\sqrt{a}})$
$①より \quad 2c-b=e^{2ac}=\cfrac{1}{a}$
$b=2c-\cfrac{1}{a} \quad に③を代入して$
$b=-\cfrac{\log a}{a}-\cfrac{1}{a}=- \cfrac{1+\log a}{a}$
(3)
$\cfrac{1+\log a}{a} < 0 \qquad a > 0 \quad だから$
$1+\log < 0 \quad \log a <-1 \quad \therefore \ \ 0 < a < \cfrac{1}{e}$
$このとき、曲線 \ C_1, \ C_2 \ は右図のとおりである。$
$曲線 \ C_1,\ \ 曲線 \ \ C_2,\ \ x\ 軸,\ \ y\ 軸で囲まれる図形の面積 \ S\ は$
\begin{eqnarray*} S &=&\int_0^c e^{ax} dx - \int _{\scriptsize{\cfrac{b}{2}}}^c \sqrt{2x-b}dx\\ \\ &=&\big[\cfrac{1}{a}e^{ax}\big]_0^c - \cfrac{2}{3} \times \cfrac{1}{2}\big[(2x-b)^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}}\big] _{\scriptsize{\cfrac{b}{2}}}^c \\ \\ &=&\cfrac{1}{a}(e^{ac}-1) - \cfrac{1}{3}(2c-b)^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}} \\ \\ &=&\cfrac{1}{a}(\cfrac{1}{\sqrt{a}}-1) - \cfrac{1}{3}\big(-\cfrac{\log a}{a} + \cfrac{1+\log a}{a}\big)^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}} \\ \\ &=&\cfrac{1}{a}(\cfrac{1}{\sqrt{a}}-1) - \cfrac{1}{3}(\cfrac{1}{a})^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}} \\ \\ &=&\cfrac{1}{a\sqrt{a}}-\cfrac{1}{a} - \cfrac{1}{3a\sqrt{a}}\\ \\ &=&\cfrac{2}{3a\sqrt{a}}-\cfrac{1}{a}\\ \\ &=&\cfrac{2\sqrt{a}-3a}{3a^2}\\ \end{eqnarray*}
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