新潟大学(理系) 2023年 問題3
$k\ を実数とする。全体集合を実数全体の集合とし、その部分集合 \ A,\ B\ を次のように定める。$
$\qquad A=\{x|x^3-x^2-(k^2+4k+4)x+k^2+4k+4=0\}$
$\qquad B=\{x|x^3-(k^2+3k+3)x^2+k^2x -k^4-3k^3-3k^2=0\}$
$次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ k=-1 \ のとき、集合\ A,\ B, \ A \cap B ,\ A \cup B\ を、\{a,b,c\}\ のように集合の要素を書き並べて表す方法$
$\quad により、それぞれ表せ。空集合になる場合は、空集合を表す記号で答えよ。$
$(2)\ \ 集合 \ B\ が \ A\ の部分集合となるような \ k\ の値をすべて求めよ。そのような \ k\ の値が存在しない場合は、$
$\quad その理由を述べよ。$
$(3)\ \ 集合 \ A \cup B\ の要素の個数を求めよ。$
(1)
$集合 \ A,\ B\ の条件式を同じく \ A(x),\ B(x)\ で表すと$
$A(x)=x^3-x^2-(k+2)^2 x+(k+2)^2$
$A(1)=0 \quad だから \quad A(x)\ は \ (x-1)\ を因数にもつ。$
$A(x)\ を \ (x-1)\ で割った商は \quad x^2-(k+2)^2 \quad だから$
$A(x)=(x-1)(x^2-(k+2)^2)=(x-1)(x-(k+2))(x+(k+2))$
$A(x)=0 \quad より \quad A=\{1,\ \ k+2,\ \ -k-2\}$
\begin{eqnarray*} B(x) &=&x^3-(k^2+3k+3)x^2+k^2x -k^2(k^2+3k+3)\\ \\ &=&x^3 +k^2x -(k^2+3k+3)(x^2+ k^2)\\ \\ &=&x(x^2 +k^2) -(k^2+3k+3)(x^2+ k^2)\\ \\ &=&(x^2 +k^2)(x -(k^2+3k+3))\\ \end{eqnarray*}
(i)$\ \ k \ne 0 \quad のとき \quad x^2+k^2 > 0 \quad だから \quad B=\{k^2+3k+3\}$
(ii)$\ \ k = 0 \quad のとき \quad B=\{0,\ 3\}$
$k=-1 \quad のとき$
$Aの要素は \quad k+2=1, \quad -k-2=-1 \quad だから \quad A=\{1,-1\}$
$Bの要素は \quad k^2+3k+3=1 \quad だから \quad B=\{1 \}$
$よって \quad A \cap B=\{1\},\quad A \cup B=\{1,-1\}$
(2)
$\ \ k=0 \ \ のとき \ \ A=\{1,\ 2,\ -2\},\ \ B=\{0,\ -3\} \quad より \quad 0 \in B \ \ であるが \ \ 0 \notin A \ \ だから$
$B\ が \ A\ の部分集合とならない。$
$集合 \ B\ が \ A\ の部分集合となるのは次のような場合である。$
(i)$\ \ k^2+3k+3=1 \quad のとき$
$\quad k^2+3k+2=0 \qquad (k+1)(k+2)=0 \qquad k=-1,\ \ -2$
(ii)$\ \ k^2+3k+3=k+2 \quad のとき$
$\quad k^2+2k+1=0 \qquad (k+1)^2=0 \qquad k=-1$
(iii)$\ \ k^2+3k+3=-k-2 \quad のとき$
$\quad k^2+4k+5=0 \qquad 判別式 \ \ \cfrac{D}{4}=4-5=-1 \quad だから \ k\ は虚数となり不適$
(i),(ii),(iii)$\ \ より \quad k=-1,\ \ -2$
$なお$
$k=-1 \ \ のときは \quad A=\{1,\ -1\},\ \ B=\{1 \}$
$k=-2 \ \ のときは \quad A=\{1,\ 0\},\ \ B=\{1 \}$
(3)
$k=0 \ のとき \ \ A \cup B =\{0,\ 1,\ 2,\ -2,\ 3\} \quad よって \ \ 5\ 個$
$k \ne 0 \ \ のとき \ \ A \cup B =\{1,\ k+2.\ -k-2,\ k^2+3k+3\} \quad だから$
(i)$\ \ k+2=1 \quad のとき$
$\quad k=-1 \quad だから\quad -k-2=-1, \quad k^2+3k+3=1 \quad より \quad A \cup B=\{1,-1\} \quad よって \ \ 2\ 個$
(ii)$\ \ -k-2=1 \quad のとき$
$\quad k=-3 \quad だから \quad k+2=-1, \quad k^2+3k+3=3 \quad より \quad A \cup B=\{1,-1,3 \} \quad よって \ \ 3\ 個$
(iii)$\ \ k^2+3k+3=1 \quad のとき$
$\quad k^2+3k+2=0 \qquad (k+1)(k+2)=0 \qquad k=-1,\ \ -2$
$\quad (ア)\ \ k=-1 \quad のとき \quad k+2=1,\quad -k-2=-1 \quad より \quad A \cup B=\{1,-1\} \quad よって \ \ 2\ 個$
$\quad (イ)\ \ k=-2 \quad のとき \quad k+2=0, \quad -k-2=0 \quad より \quad A \cup B=\{1,0\} \quad よって \ \ 2\ 個$
(iv)$\ \ k+2=-k-2 \quad のとき$
$\quad k=-2 \quad だから \quad k+2=0,\quad k^2+3k+3=1 \quad より \quad A \cup B=\{1,0 \} \quad よって \ \ 2\ 個$
(v)$\ \ k+2=k^2+3k+3 \quad のとき$
$\quad k^2+2k+1=0 \qquad (k+1)^2=0 \qquad k=-1$
$\quad k+2=1,\quad -k-2=-1 \quad より \quad A \cup B=\{1,-1 \} \quad よって \ \ 2\ 個$
(vi)$\ \ -k-2=k^2+3k+3 \quad のとき$
$\quad k^2+4k+5=0 \quad 判別式 \ \ \cfrac{D}{4}=4-5=-1 \quad だから \ k\ は虚数となり不適$
$以上より \ k\ の値が$
$k=0 \ \ のとき \hspace{5em} 5\ 個$
$k=-1,\ \ -2 \ \ のとき \hspace{2em} 2\ 個$
$k=-3\ \ のとき \hspace{4.5em} 3\ 個$
$これ以外のとき \hspace{4em} 4\ 個$
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