新潟大学(理系) 2023年　問題1


$a\ は \ 1 \leqq a \leqq 4\ を満たす定数とする。点 \ A\ を \ (a,\ 0)、点 \ B\ を \ (a,\ a^2)、点 \ C\ を \ (-1,\ 1)、点 \ D\ を(-1,\ 0)\ とし、$
$曲線 \ E\ を \ y=x^2\ とする。線分 \ BC\ と曲線 \ E\ で囲まれる図形の面積を \ S\ とし、線分 \ AB、曲線 \ E、線分 \ CD、$
$線分 \ DA\ で囲まれる図形の面積を \ T\ とする。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ S\ と \ T\ が等しくなるときの \ a\ の値を求めよ。$
$(2)\ \ S\ と \ T\ の差が最大となるときの \ a\ の値を求めよ。$


(1)

　

$台形ABCD\ の面積を \ U\ とする。$

$U=\cfrac{1}{2}(AB+CD)\times AD=\cfrac{1}{2}(a^2+1)(a+1)$

\[T=\int_{-1}^a x^2dx=\big[\cfrac{x^3}{3}\big]_{-1}^a=\cfrac{1}{3}(a^3+1)\]
$S\ と \ T\ が等しいときは\ \ U=2T\ \ だから$

$\cfrac{1}{2}(a^2+1)(a+1)=\cfrac{2}{3}(a^3+1)$

$3(a^2+1)(a+1)=4(a+1)(a^2-a+1)$

$(a+1)(a^2-4a+1)=0$

$a \geqq 1 \quad だから \quad a+1 > 0$

$a^2-4a+1=0 \quad より \quad a=2 \pm \sqrt{3}$

$1 \leqq a \leqq 4 \quad より \quad a=2+ \sqrt{3}$


(2)


\begin{eqnarray*} & &S-T\\ \\ &=&(U-t)-T\\ \\ &=&U-2T\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}(a^2+1)(a+1)-\cfrac{2}{3}(a^3+1)\\ \\ &=&\cfrac{1}{6}(-a^3+3a^2+3a-1)\\ \end{eqnarray*} $f(a)=-a^3+3a^2+3a-1 \quad とおくと$

$f'(a)=-3a^2+6a+3=-3(a^2-2a-1)$

$f'(a)=0 \quad より \quad a=1 \pm \sqrt{2}$

$ 1 \leqq a \leqq 4 \quad より \quad a=1 +\sqrt{2}$

$増減表は$
\[\qquad \begin{array}{c||c|c|c|c|c} a & 1 & \cdots & 1+\sqrt{2} & \cdots & 4\\ \hline f'(a) & & + & 0 & - & \\ \hline f(a) & & \nearrow & 極大 & \searrow & \\ \end{array} \]
$f(a)\ は \ \ a=1+\sqrt{2} \ \ で極大かつ最大となる。$


$なお、最大値は \quad f(a)\ を \ (a^2-2a-1)\ \ で割って商と余りを求めると$

$f(a)=-(a^3-3a^2-3a+1)=-\{(a^2-2a-1)(a-1)-4a\} \quad だから$

$f(1+\sqrt{2})=4(1+\sqrt{2})$

$よって \quad S-T\ \ の最大値は \quad \cfrac{1}{6} \times 4(1+\sqrt{2})=\cfrac{2}{3}(1+\sqrt{2}) $


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