新潟大学(理系) 2022年　問題5


$複素数 \ z\ に対して、その共役複素数を \ \overline{z}\ とし、i\ を虚数単位とする。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 次の式を因数分解せよ。$
$\hspace{3em} z\overline{z} + \overline{\alpha} z + \alpha \overline{z}+ \alpha \overline{\alpha} \quad ただし、\alpha \ は複素数とする。$
$(2)\ \ 以下を満たす複素数 \ z\ が存在するような複素数 \ \beta \ の範囲を複素数平面上に図示せよ。$
$\hspace{3em} z\overline{z} + (1-i+\overline{\beta})z + (1+i+ \beta )\overline{z} =\beta$
$(3)\ \ |\beta| \leqq 2\ \ とする。複素数 \ z\ が以下を満たすとき、|z|\ の最大値を求めよ。また、そのときの \ \beta,\ z\ を求めよ。$
$\hspace{3em} z\overline{z} + (1-i+\overline{\beta}) z + (1+i+ \beta )\overline{z} =\beta$


$(解説)$

$(1)\ \ zでくくれば先が見えます。$
$(2)\ \ \beta \ の範囲を複素数平面上に図示せよとあるので、\beta \ はある図形をえがくと思いがちですが、実数は複素数です。$
$(3)\ \ 複素数平面上で \ z\ の表す図形を考えます。|z|\ は原点と点zとの距離ですからこれを最大にするような \ \beta \ を$
$\quad 決定します。条件つき \ 2\ 次式の最大値を求める問題と考えるか、平面上で図形的に考えるか \ 2\ 通りの方法が$
$\quad あります。$


(1)


$\quad z\overline{z} + \overline{\alpha} z + \alpha \overline{z}+ \alpha \overline{\alpha}= (\overline{z} + \overline{\alpha}) z + (\overline{z} + \overline{\alpha}) \alpha = (z+ \alpha )(\overline{z} + \overline{\alpha})$


(2)


$\alpha =1+i+\beta \quad とおくと \quad \overline{\alpha } =1-i+\overline{\beta} \quad だから$

$z\overline{z} + (1-i+\overline{\beta})z + (1+i+ \beta )\overline{z} =\beta \quad は \quad z\overline{z} + \overline{\alpha} z + \alpha \overline{z}=\beta$

$両辺に \quad \alpha \overline{\alpha} \quad を加えて \quad z\overline{z} + \overline{\alpha} z + \alpha \overline{z}+ \alpha \overline{\alpha} =\beta + \alpha \overline{\alpha} $

$左辺は(1)より因数分解して \quad (z+ \alpha )(\overline{z} + \overline{\alpha}) =\beta + \alpha \overline{\alpha} \quad \therefore \ \ |z+ \alpha |^2= \beta + |\alpha|^2$

$\beta =|z+ \alpha |^2 - |\alpha|^2 \quad だから \quad \beta \ \ は実数である。$

$よって$
\begin{eqnarray*} \quad |z+ \alpha |^2 &=&\beta + |\alpha|^2 \\ &=& \beta +|(1+\beta) +i|^2\\ &=&\beta +(1+\beta)^2+1\\ &=&\beta ^2 + 3\beta +2\\ &=&(\beta +1)(\beta +2)\\ \end{eqnarray*}

　
$|z+ \alpha |^2 \geqq 0 \quad だから \quad (\beta +1)(\beta +2) \geqq 0 $

$\therefore \ \ \beta \leqq -2,\quad \beta \geqq -1$

$\beta \ \ の範囲は右図のとおり$


(3)


$(2)より　\beta \leqq -2,\quad \beta \geqq -1 \quad で \quad |\beta| \leqq 2 \quad だから \quad \beta=-2,\quad -1 \leqq \beta \leqq 2$

$|z+ \alpha|^2=(\beta +1)(\beta +2) \quad より \quad |z+1+\beta +i|^2= (\beta +1)(\beta +2)$

$z=x+y\ i \ \ (x,\ y\ は実数)\ とおくと$

$|x+1+\beta +i(y+1)|^2= (\beta +1)(\beta +2)$

$(x+1+\beta)^2+(y+1)^2= (\beta +1)(\beta +2)$

$よって、z\ は中心 \ \ -1-\beta -i,\ \ 半径 \ \ \sqrt{(\beta +1)(\beta +2)} \ \ の円をえがく。$

$ただし、\beta =-2,\ \ -1 \ \ のときはそれぞれ点 \ (1,\ -1),\ (0,\ -1)\ を表す。$

　
$右図は、\beta=-1 \ \ から \ \ 2\ まで \ 0.5\ きざみで表示したものです。$

$これらの円周上の点 \ z\ で、|z|^2=x^2+y^2 \ \ (原点からの距離の平方)を$

$最大にする円は、半径が一番大きい、\beta=2\ \ の円である。$

$このとき$

$\qquad (x+3)^2+(y+1)^2= 12 $

$となるからこの条件のもとで、$

$\qquad f=x^2+y^2$

$を最大にする点 \ (x,\ y)\ を求めればよい。$

$x+3=2\sqrt{3}\cos \theta,\quad y+1=2\sqrt{3}\sin \theta \quad とおくと$

\begin{eqnarray*} \quad f &=&x^2+y^2\\ \\ &=&(2\sqrt{3}\cos \theta -3)^2+(2\sqrt{3}\sin \theta -1)^2\\ \\ &=&12\cos ^2 \theta -12\sqrt{3}\cos \theta + 12\sin ^2 \theta -4\sqrt{3}\sin \theta + 10\\ \\ &=&22-4\sqrt{3}(\sin \theta + 3\cos \theta )\\ \\ &=&22-4\sqrt{3}\cdot \sqrt{10}\sin (\theta + \gamma )\\ \end{eqnarray*} $ただし、 \cos \gamma=\cfrac{1}{\sqrt{10}},\quad \sin \gamma=\cfrac{3}{\sqrt{10}}$

$\sin (\theta + \gamma )=-1 \quad のとき f\ は最大値となり、最大値は$

$\quad f=22+4\sqrt{3}\cdot \sqrt{10}=22+2\sqrt{120}=(\sqrt{12}+\sqrt{10})^2=(2\sqrt{3}+\sqrt{10})^2$

$よって \quad |z|\ の最大値は \quad 2\sqrt{3}+\sqrt{10} $

$このとき \quad \sin (\theta + \gamma )=-1 \quad より \quad \theta + \gamma =\cfrac{3\pi}{2} \qquad \theta=\cfrac{3\pi}{2} - \gamma$

$\quad x=2\sqrt{3}\cos (\cfrac{3\pi}{2} -\gamma) -3 =-2\sqrt{3}\sin \gamma -3 =-2\sqrt{3} \times \cfrac{3}{\sqrt{10}} -3=-\cfrac{3(5+\sqrt{30})}{5}$

$\quad y=2\sqrt{3}\sin (\cfrac{3\pi}{2} -\gamma) -1 =-2\sqrt{3}\cos \gamma -1 =-2\sqrt{3} \times \cfrac{1}{\sqrt{10}} -1=-\cfrac{5+\sqrt{30}}{5}$

$以上より \quad |z|\ の最大値は、\beta=2,\quad z=-\cfrac{3(5+\sqrt{30})}{5} -\cfrac{5+\sqrt{30}}{5} i \quad のとき最大値 \quad 2\sqrt{3}+\sqrt{10} \quad をとる$


$(別解)$

　
$z\ は \ 中心　-1-\beta -i,\ 半径 \ \ \sqrt{(\beta +1)(\beta +2)} \ \ の円をえがくから$

$この円周上の点 \ z\ で、|z|^2=x^2+y^2 \ \ (原点からの距離の平方)\ を最大に$

$する点は、半径が一番大きい \ \ \beta=2\ \ の円と、原点と円の中心を結ぶ$

$直線との交点 \ A\ である。$

$したがって \ \ |z|\ の最大値は \quad OA=2\sqrt{3}+\sqrt{10}$

$点 \ A\ の座標は$

\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} (x+3)^2+(y+1)^2=12 \\ y=\cfrac{1}{3}x \\ \end{array} \right. \]
$これを解いて \quad x=-\cfrac{3(5+\sqrt{30)}}{5},\quad y=-\cfrac{5+\sqrt{30}}{5}$



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