新潟大学(理系) 2022年　問題4


$曲線\ C\ を \ \ y=x^2e^x \ \ とするとき、次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 曲線 \ C\ の概形をかけ。$
\[(2)\ \ \int xe^x dx ,\quad \int x^2e^x dx \quad をそれぞれ求めよ。\] $(3)\ \ 点(t,\ 0)\ を通る曲線Cの接線がちょうど \ 2\ 本存在するような \ t\ の値をすべて求めよ。$
$(4)\ \ (3)で求めた \ t\ のうち、-1 < t < 0\ \ を満たすものを \ T\ とする。点(T,\ 0)\ を通る \ 2\ 本の接線と$
$\quad 曲線 \ C\ で囲まれた部分の面積を求めよ。$


$(解説)$

$(1)\ \ y'で増減を調べて終わりとするか、y''をとって凹凸まで調べた方がいいか迷うところです。$
$(2)\ \ ごく普通に部分積分法で求めます。この値は(4)で使われます。$
$(3)\ \ ちょうど \ 2\ 本存在するということがどういうことかを調べます。$
$(4)\ \ 囲まれる部分の面積は積分で求めますが、工夫すると計算が楽になります。$


(1)


　
$y'=2xe^x+x^2e^x=(x^2+2x)e^x$

$y''=(2x+2)e^x+(x^2+2x)e^x=(x^2+4x+2)e^x$

$y'=0 \quad より \quad x=-2,\ \ 0 \qquad y''=0 \quad より \quad x=-2 \pm \sqrt{2}$

$y\ の増減表は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & \cdots & -2-\sqrt{2} & \cdots & -2 & \cdots & -2+\sqrt{2} & \cdots & 0 & \cdots \\ \hline y'& + & + & + & 0 & - & - & - & 0 & +\\ \hline y''& + & 0 & - & - & - & 0 & + & + & +\\ \hline y & \nearrow & & \nearrow & & \searrow & & \searrow & & \nearrow \\ & 下に凸 & 変曲点 & 上に凸 & 極大 & 上に凸 & 変曲点 & 下に凸 & 極小 & 下に凸 \\ \end{array} \]
$x=-2 \ のとき \ \ 極大値 \ \ y=4e^{-2} ,\quad x=0 \ のとき \ \ 極小値 \ \ y=0\ \ をもつ$

$曲線 \ C\ の概形は右図のとおり$


(2)


\begin{eqnarray*} \quad \int xe^x dx &=&xe^x -\int e^x dx\\ &=&xe^x - e^x +C\\ &=&(x-1)e^x+C \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \quad \int x^2e^x dx &=&x^2e^x -\int 2xe^x dx\\ &=&x^2e^x - 2(x-1)e^x +C\\ &=&(x^2-2x+2)e^x+C \end{eqnarray*}

(3)


$接点を(s,s^2e^s) \ \ とおくと接線の方程式は \quad y=(s^2+2s)e^s(x-s)+s^2e^s$

$これが点(t,\ 0)\ を通るから \quad 0=(s^2+2s)e^s(t-s)+s^2e^s$

$e^s \ で割って \quad (s^2+2s)(t-s)+s^2=0 \qquad s(s^2+(1-t)s-2t)=0$

$接線がちょうど \ 2\ 本存在するときは、異なる接点が \ 2\ 点あることだから$

$s(s^2+(1-t)s-2t)=0 \ \ に実数解がちょうど \ 2\ つあるときである。$

$1\ つは \ \ s=0\ \ で、このとき \ t\ は任意の実数$

$他の1つは \quad s^2+(1-t)s-2t=0 \quad の重解である。$

$\quad D=(1-t)^2+8t=0 \quad より \quad t^2+6t+1=0 \qquad \therefore \ \ t=-3 \pm 2 \sqrt{2}$

$\quad このとき \quad s=\cfrac{-1+t}{2}=\cfrac{-1+(-3 \pm 2 \sqrt{2})}{2}=-2 \pm \sqrt{2}$

$以上より \ \ s=0 \ のとき \ t\ は任意の実数、s=-2 \pm \sqrt{2}\ \ のとき \ \ t=-3 \pm 2\sqrt{2}$


$(注意)$

$\quad s=-2 \pm \sqrt{2}\ \ は変曲点のx座標です。$


(4)


$t=-3 + 2\sqrt{2}\ \ が \quad -1 < t <0 \quad をみたすから \quad T=-3 + 2\sqrt{2}$

　
$接点 \ P\ の \ x\ 座標は \quad s=-2+\sqrt{2} \quad だから 求める面積 \ S\ は$
\begin{eqnarray*} S &=&\int_s^0 x^2e^xdx - \triangle PQR\\ \\ &=&\big[x^2-2x+2)e^x \big]_s^0 - \cfrac{1}{2}\times QR \times PQ\\ \\ &=&2-(s^2-2s+2)e^s -\cfrac{1}{2} \times (T-s) \times s^2e^s\\ \\ & &ここで、T=-3 + 2\sqrt{2}=-3+2(s+2)=2s+1 \quad だから\\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} S &=&2-(s^2-2s+2)e^s -\cfrac{1}{2} \times (s+1) \times s^2e^s\\ \\ &=&2-\cfrac{1}{2}(s^3+3s^2-4s+4)e^s\\ \\ & & ここで、s=-2+\sqrt{2} \quad より \quad (s+2)^2=2 \qquad \therefore \ \ s^2+4s+2=0 \quad だから\\ \\ & &s^3+3s^2-4s+4 \ \ を \ \ s^2+4s+2 \ \ で割って商と余りを求めると\\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} S &=&2-\cfrac{1}{2}\{(s-1)(s^2+4s+2)-2s+6\}e^s\\ \\ &=&2+(s-3)e^s\\ \\ &=&2+(-2+\sqrt{2}-3)e^{-2+\sqrt{2}}\\ \\ &=&2-(5-\sqrt{2})e^{-2+\sqrt{2}}\\ \end{eqnarray*}

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