新潟大学(理系) 2022年 問題3
$式 \ A,\ B,\ C\ を次のように定める。$
$\quad A=y^2-3x^2y+11xy+4y-3x^3+13x^2-5x-5$
$\quad B=y^2+x^2y-5xy+4y+x^3-7x^2+11x-5$
$\quad C=y+x-1$
$次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 式 \ A,\ B,\ C\ を \ y\ の整式とみて、A,\ B\ を \ C\ で割ったときの商をそれぞれ求めよ。$
$(2)\ \ 不等式 \ \ \log A > \log(-B) \ \ が表す領域を \ xy\ 平面上に図示せよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ y\ の整式とみるときは、x\ は定数扱いとなります。$
$(2)\ \ 真数は正の条件を忘れないこと。3\ つの \ 2\ 次関数の頂点と交点を求めて正確にグラフをかきます。$
(1)
$A,\ B\ を \ y\ の降べきの順に整理すると$
$\quad A=y^2-(3x^2-11x-4)y-3x^3+13x^2-5x-5,\quad B=y^2+(x^2-5x+4)y+x^3-7x^2+11x-5$
$割り算を行うと$
$したがって、商はそれぞれ、y-3x^2+10x+5 \quad と \quad y+x^2-6x+5 $
$なお、余りはともに \ 0\ だから割り切れて \quad A=C(y-3x^2+10x+5),\quad B=C(y+x^2-6x+5) \ \ となります。$
$ということは、整式 \ A,\ B\ は因数分解できるということです。$
\begin{eqnarray*} \quad A &=&y^2-(3x^2-11x-4)y-3x^3+13x^2-5x-5\\ &=&y^2-(3x^2-11x-4)y-(x-1)(3x^2-10x -5)\\ &=&\{y+(x-1)\}\{y-(3x^2-10x-5)\}\\ &=&(y+x-1)(y-3x^2+10x+5) \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \quad B &=&y^2+(x^2-5x+4)y+x^3-7x^2+11x-5\\ &=&y^2+(x^2-5x+4)y+(x-1)(x^2-6x+5)\\ &=&\{y+(x-1)\}\{y+(x^2-6x+5)\}\\ &=&(y+x-1)(y+x^2-6x+5) \end{eqnarray*}
$なぜ、「因数分解せよ」でなく「商を求めよ」としたのか、問題作成者の意図がわかりません。$
(2)
$対数の定義より$
$\quad $(i)$\ \ A>0 \quad だから \quad (y+x-1)(y-3x^2+10x+5)>0$
$\quad $(ii)$\ \ B<0 \quad だから \quad (y+x-1)(y+x^2-6x+5)<0$
$\log A > \log(-B）\quad より \quad A > -B \quad だから$
$\quad $(iii)$\ \ (y+x-1)(y-3x^2+10x+5)> -(y+x-1)(y+x^2-6x+5)$
$\hspace{4em} (y+x-1)(y-x^2+2x+5)>0$
(i),(ii),(iii)$の \ C\ 以外の境界を$
$C_1:y=3x^2-10x-5=3(x-\cfrac{5}{3})^2-\cfrac{40}{3}$
$C_2:y=-x^2+6x-5=-(x-3)^2+4$
$C_3:y=x^2-2x-5=(x-1)^2-6 $
$とおくと、C_1,\ C_2,\ C_3 \ はともに点 \ (0,\ -5),\ (4,\ 3)\ をとおる。$
$C\ と \ C_2\ の交点は \ (1,\ 0),\ (6,\ -5),\ C\ と \ C_3\ の交点は \ (-2,\ 3),\ (3,\ -2)$
$それぞれの頂点に注意してかいたグラフは右図のとおりです。$
$満たす領域は$
$(Ⅰ)\ \ y+x-1 > 0 \quad のとき$
\[
\hspace{1em}
\left\{ \begin{array}{l}
y-3x^2+10x+5>0 \\
y+x^2-6x+5 <0 \\
y-x^2+2x+5 >0 \\
\end{array} \right.
\]
$(Ⅱ)\ \ y+x-1 < 0 \quad のとき$
\[
\hspace{1em}
\left\{ \begin{array}{l}
y-3x^2+10x+5<0 \\
y+x^2-6x+5 >0 \\
y-x^2+2x+5 <0 \\
\end{array} \right.
\]
$この領域の表す図は右のとおりで、境界は含みません。$
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