新潟大学(理系) 2022年 問題2
$座標空間の原点を \ O\ とし、3\ 点 \ A(2,\ 2,\ -2),\ B(2,\ -2,\ 2),\ C(-2,\ 2,\ 2)\ をとる。線分 \ AB\ を \ 3:1\ に内分する$
$点を \ D,線分 \ AC\ を \ 3:1\ に外分する点を \ E\ とする。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 2点 \ D,\ E\ の座標をそれぞれ求めよ。$
$(2)\ \ 点 \ F\ を直線 \ DE\ 上の点とし、\vec{OG}\ と \ \vec{BC}\ のなす角 \ \theta \ が \ \cos \theta =\cfrac{3\sqrt{7}}{14} \ を満たすとき、点 \ F\ の座標を求めよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ 内分点、外分点の座標を求めるだけです。$
$(2)\ \ 点 \ F\ は線分 \ DE\ を \ (1-t):t\ の比に分ける点として、\vec{OF}\ を求め、\vec{OF}\ と \ \vec{BC}\ の内積を \ 2\ 通りで表します。$
(1)
$\vec{OD}=\cfrac{\vec{OA}+3\vec{OB}}{3+1}=\cfrac{(2,\ 2,\ -2)+3(2,\ -2,\ 2)}{4}=(2,\ -1,\ 1)$
$\vec{OE}=\cfrac{-\vec{OA}+3\vec{OC}}{3-1}=\cfrac{-(2, 2,\ -2)+3(-2,\ 2,\ 2)}{2}=(-4,\ 2,\ 4)$
$よって \quad D(2,\ -1,\ 1),\quad E(-4,\ 2,\ 4)$
(2)
$\vec{BC}=\vec{OC}-\vec{OB}=(-2,\ 2,\ 2)-(2,\ -2,\ 2)=(-4,\ 4,\ 0)$
$点 \ F\ は線分 \ DE\ を \ (1-t):t\ の比に分ける点とすると$
$\vec{OF}=t\vec{OD}+(1-t)\vec{OE}=t(2,\ -1,\ 1)+(1-t)(-4,\ 2,\ 4)=(6t-4,\ -3t+2 ,\ -3t+4)$
$よって \quad \vec{OF}\cdot \vec{BC}=-4(6t-4)+4(-3t+2)=12(-3t+2)$
$一方$
\begin{eqnarray*} \vec{OF}\cdot \vec{BC} &=&|\vec{OF}|\vec{BC}|\cos \theta\\ &=&\sqrt{(6t-4)^2+(-3t+2)^2+(-3t+4)^2}\sqrt{(-4)^2+4^2}\times \cfrac{3\sqrt{7}}{14}\\ &=&\sqrt{54t^2-84t+36} \times 4\sqrt{2} \times \cfrac{3\sqrt{7}}{14}\\ &=&\cfrac{12\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\sqrt{9t^2-14t+6}\\ \end{eqnarray*} $したがって \quad 12(-3t+2)=\cfrac{12\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\sqrt{9t^2-14t+6}$
$ここで、左辺は正であるから \quad -3t+2 >0 \qquad \therefore \ \ t <\cfrac{2}{3}$
$-3t+2=\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\sqrt{9t^2-14t+6}$
$7(-3t+2)^2=3(9t^2-14t+6)$
$36t^2-42t+10=0$
$18t-2-21t+5=0$
$(3t-1)(6t-5)=0$
$ t <\cfrac{2}{3} \quad より \quad t=\cfrac{1}{3}$
$したがって \quad \vec{OF}=(-2,\ 1,\ 3)\quad より \quad F(-2,\ 1,\ 3)$
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