名古屋大学(理系) 2026年　問題4


$xy\ 平面上を次の規則$(i), (ii)$\ に従って移動する点 \ A\ を考える。$
(i)$\ \ 時刻 \ 0\ で点 \ A\ は原点にある。$
(ii)$\ \ ある時刻において点 \ A\ が(x,\ y)にあるとき、時刻が \ 1\ 増えると点 \ A\ は \ 3\ 点 \ (x+1,\ y),\ \ (x+1,\ y+1),$
$\quad (x,\ y+1)\ \ のいずれかにそれぞれ \ \ \dfrac{1}{3}\ \ の確率で移動する。$
$1\ 以上の整数 \ n\ に対して、次の条件(*)が成り立つ確率を \ p_n \ とする。$
$\qquad (*)\ 時刻 \ 0\ から時刻 \ n\ まで点 \ A\ はつねに \ \ -1 \leqq y-x \leqq 1\ \ で定まる領域にある。$
$このとき、以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ p_1,\ \ p_2,\ \ p_3\ \ を求めよ。$
$(2)\ \ 1\ 以上の整数 \ n\ に対して、条件 \ (*)\ が成り立ちかつ時刻 \ n\ で点 \ A\ が直線 \ y-x=0\ 上にある確率を \ a_n \ と$
$\quad する。また、条件 \ (*)\ が成り立ちかつ時刻 \ n\ で点 \ A\ が直線 \ \ y-x=1\ \ 上または直線 \ \ y-x=-1 \ \ 上にある$
$\quad 確率を \ b_n\ とする。a_{n+1},\ \ b_{n+1}\ \ を \ a_n,\ \ b_n \ \ を用いて表せ。$
$(3)\ \ p_{n+2} \ \ を \ p_{n+1},\ \ p_n \ \ を用いて表せ。$
$(4)\ \ \alpha =\dfrac{1+\sqrt{2}}{3} \ \ とおくとき、p_{n} \leqq \alpha^{n-1} \ \ が \ 1\ 以上のすべての整数 \ n\ に対して成り立つことを証明せよ。$


(1)


$-1 \leqq y-x \leqq 1\ \ で定まる領域を \ R\ とする。$

$P_1\ \ について$

$\quad 時刻 \ 0\ で原点にいた点 \ A\ は時刻 \ 1\ で点(1,\ 1),\ \ (0,\ 1),\ \ (1,\ 0)\ \ のいずれかに移動するが、$

$\quad これらの \ 3\ 点は領域 \ R\ 内にあるから \qquad p_1=1$

$P_2\ \ について$

$時刻 \ t=1\ で、確率 \ \ \dfrac{1}{3}\ \ で点(1,\ 1),\ \ (0,\ 1),\ \ (1,\ 0)\ \ のいずれかに移動した点 \ A\ は、時刻 \ 2\ で$

$(1,\ 1) \longrightarrow (2,\ 2),\ \ (1,\ 2),\ \ (2,\ 1)$

$(0,\ 1) \longrightarrow (1,\ 2),\ \ (1,\ 1)$

$(1,\ 0) \longrightarrow (2,\ 1),\ \ (1,\ 1)$

$に移動するので \qquad p_2=\dfrac{7}{9}$

$P_3\ \ について$

$時刻 \ t=2\ で、確率 \ \ \dfrac{1}{9} \ \ で次の各点に移動した点 \ A\ は、時刻 \ 3\ で$

$(1,\ 1) \longrightarrow (2,\ 2),\ \ (1,\ 2),\ \ (2,\ 1)$

$(2,\ 2) \longrightarrow (3,\ 3),\ \ (2,\ 3),\ \ (3,\ 2)$

$(1,\ 2) \longrightarrow (2,\ 2),\ \ (2,\ 3)$

$(2,\ 1) \longrightarrow (3,\ 2),\ \ (2,\ 2)$

$に移動するが、(1,\ 1),\ \ (1,\ 2),\ \ (2,\ 1) \ はそれぞれ \ 2\ 点ずつあるから \qquad p_3=\dfrac{7 \times 2+3}{27}=\dfrac{17}{27}$


(2)


$条件 \ (*)\ が成り立ちかつ時刻 \ n\ で点 \ A\ が直線 \ \ y-x=1\ \ 上、 y-x=-1 \ \ 上にある確率を \ それぞれ \ c_n\ ,d_n \ とする。$

$対称性から \quad c_n=d_n \ \ であり、b_n=c_n+d_n =2c_n$

$例えば(1)より$

$a_1=\dfrac{1}{3},\quad c_1=d_1=\dfrac{1}{3},\quad b_1=\dfrac{2}{3}$

$a_2=\dfrac{3}{9},\quad c_2=d_2=\dfrac{2}{9},\quad b_2=\dfrac{4}{9}$

$a_3=\dfrac{7}{27},\quad c_3=d_3=\dfrac{5}{27},\quad b_3=\dfrac{10}{27}$

　

$右図からわかるように$

\begin{eqnarray*} a_{n+1} &=&\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{1}{3}c_n+\dfrac{1}{3}d_n\\ \\ &=&\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{1}{3}(c_n+d_n)\\ \\ &=&\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{1}{3}b_n \end{eqnarray*}
$同様にして、$

　

$c_{n+1}=\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{1}{3}c_n $

$d_{n+1}=\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{1}{3}d_n $

$辺々加えて$

\begin{eqnarray*} b_{n+1} &=&c_{n+1}+d_{n+1}\\ \\ &=&\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{3}c_n+\dfrac{1}{3}d_n\\ \\ &=&\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{3}b_n \\ \end{eqnarray*}

(3)


$a_{n+1}=\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{1}{3}b_n =\dfrac{1}{3}p_n \hspace{8em}①$

$b_{n+1}=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{3}b_n = \dfrac{1}{3}p_n +\dfrac{1}{3}a_n \hspace{5em}②$

$①+②\ \ より \quad p_{n+1}=\dfrac{2}{3}p_n+\dfrac{1}{3}a_n$

$n \longrightarrow n+1 \ \ として①を代入すると$
\begin{eqnarray*} p_{n+2} &=&\dfrac{2}{3}p_{n+1}+\dfrac{1}{3}a_{n+1}\\ \\ &=&\dfrac{2}{3}p_{n+1}+\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3}p_n \\ \\ &=&\dfrac{2}{3}p_{n+1}+ \dfrac{1}{9}p_n \\ \end{eqnarray*}

(4)


$p_{n} \leqq \alpha^{n-1} \ \ が成り立つことを数学的帰納法証明する。$

(i)$\ \ n=1\ \ のとき (1)より \ \ 左辺=p_1=1 ,\quad 右辺=1 \ \ だから成りたつ$

$\quad n=2\ \ のとき \ \ 左辺=p_2=\dfrac{7}{9}$

$\quad 右辺=\alpha =\dfrac{1+\sqrt{2}}{3}=\dfrac{3+3\sqrt{2}}{9}$

$\quad (3+3\sqrt{2})-7=3\sqrt{2}-4 > 0\ \ だから \quad p_2 < \alpha$

$\quad よって \ \ n=2\ のときも成りたつ$

(ii)$\ \ n=k,\ \ n=k+1 \ \ のとき成りたつとすると$

$\quad p_k < \big(\dfrac{1+\sqrt{2}}{3}\big)^{k-1},\quad p_{k+1} < \big(\dfrac{1+\sqrt{2}}{3}\big)^k$

$\quad このとき$

\begin{eqnarray*} \quad p_{k+2} &=&\dfrac{2}{3}p_{k+1}+ \dfrac{1}{9}p_k \\ \\ &<&\dfrac{2}{3} \big(\dfrac{1+\sqrt{2}}{3}\big)^k + \dfrac{1}{9}\big(\dfrac{1+\sqrt{2}}{3}\big)^{k-1}\\ \\ &=&\big(\dfrac{1+\sqrt{2}}{3}\big)^{k-1}\big\{\dfrac{2}{3}\big(\dfrac{1+\sqrt{2}}{3}\big)+\dfrac{1}{9}\big\}\\ \\ &=&\big(\dfrac{1+\sqrt{2}}{3}\big)^{k-1} \times \dfrac{3+2\sqrt{2}}{9}\\ \\ &=&\big(\dfrac{1+\sqrt{2}}{3}\big)^{k+1} \times \big(\dfrac{3}{1+\sqrt{2}}\big)^2 \times \dfrac{3+2\sqrt{2}}{9}\\ \\ &=&\big(\dfrac{1+\sqrt{2}}{3}\big)^{k+1} \times \dfrac{9}{3+2\sqrt{2}} \times \dfrac{3+2\sqrt{2}}{9}\\ \\ &=&\big(\dfrac{1+\sqrt{2}}{3}\big)^{k+1} \end{eqnarray*} $よって \ \ n=k+2\ \ のときも成りたつ$

(i),(ii)$\ \ より1\ 以上のすべての整数 \ n\ に対して\ \ p_{n} \leqq \alpha^{n-1} \ \ が成り立つ。$


$この帰納法については($数学的帰納法による証明$)を参考にしてください。$

$(参考)$

$\alpha =\dfrac{1+\sqrt{2}}{3} \ \ は \ \ p_{n+2}=\dfrac{2}{3}p_{n+1}+ \dfrac{1}{9}p_n \ \ の特性方程式の解である。$


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