名古屋大学(理系) 2026年　問題2


$a\ を実数とする。空間内の \ 3\ 点 \ A(2,\ 1,\ 3),\ \ B(a+2,\ 3,\ 4),\ \ C(1,\ 0,\ 0)\ \ を含む平面を \ H\ とし、2\ 点$
$D(-1,\ 2,\ 1),\ \ E(-3,\ 1,\ 0)\ \ を通る直線を考える。以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 平面 \ H\ が直線 \ DE\ と共有点をもつための,a\ の条件を求めよ。$
$(2)\ \ 平面 \ H\ が線分 \ DE\ (両端を含む)\ と共有点をもつための,a\ の条件を求めよ。$

(1)

　

$\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}=(a+2,\ 3,\ 4)-(2,\ 1,\ 3)=(a,\ 2,\ 1)$

$\vec{AC}=\vec{OC}-\vec{OA}=(1,\ 0,\ 0)-(2,\ 1,\ 3)=(-1,\ -1,\ -3)$

$平面Hの法線ベクトルを \ \ \vec{n}=(p,\ q,\ r)\ \ とおくと$

$\vec{n} \perp \vec{AB}\ \ より \quad \vec{n} \cdot \vec{AB}=0$

$(p,\ q,\ r) \cdot (a,\ 2,\ 1)=ap+2q+r=0 \hspace{6.5em}①$

$\vec{n} \perp \vec{AC}\ \ より \quad \vec{n} \cdot \vec{AC}=0$

$(p,\ q,\ r) \cdot (-1,-1,-3)=-p-q-3r=0 \hspace{5em}②$

$①+② \times 2 \ \ より \quad (a-2)p-5r=0 \qquad r=\dfrac{a-2}{5}p$

$②に代入して \quad q=-p-3r=-p-\dfrac{3(a-2)}{5}p=-\dfrac{3a-1}{5}p$

$\therefore \ \ \vec{n}=(p,\ -\dfrac{3a-1}{5}p,\ \dfrac{a-2}{5}p)$

$各成分を \ \ \dfrac{5}{p}\ \ 倍したものをあらためて \ \ \vec{n}\ \ とすると$

$\vec{n}=(5,\ -3a+1,\ a-2)$

$平面 \ H\ が直線 \ DE\ と共有点をもたないのは、H /\!/ DE \ \ のときだから、\vec{n} \perp \vec{DE}$

$\vec{DE}=(-3,\ 1,\ 0)-(-1,\ 2,\ 1)=(-2,\ -1,\ -1)\ \ より$

$\vec{n} \cdot \vec{DE}=5 \times (-2)+(-3a+1) \times (-1) +(a-2) \times (-1)=0$

$2a-9=0 \qquad \therefore \ \ a=\dfrac{9}{2}$

$よって、平面 \ H\ が直線 \ DE\ と共有点をもつための条件は \quad a \ne \dfrac{9}{2}$


(2)

　

$線分\ DE\ を \ (1-k):k \ に内分する点を \ P(s,\ t,\ u)\ \ とする。$

$ただし \quad 0 \leqq k \leqq 1$

$s=-k+(1-k) \times (-3)=2k-3$

$t=2k+(1-k) \times 1=k+1$

$u=k$

$ここで、平面 \ H\ の方程式は$

$法線ベクトル \quad \vec{n}=(5,\ -3a+1,\ a-2)$

$点C(1,\ 0,\ 0)\ \ を通るから$

$5(x-1)+(-3a+1)y+(a-2)z=0$

$5x-(3a-1)y+(a-2)z=5$

$P(s,\ t,\ u)\ \ は平面 \ H\ 上にあるから$

$5(2k-3)-(3a-1)(k+1)+(a-2)k=5$

$(-2a+9)k=3a+19$

$平面 \ H\ が線分\ DE\ と共有点をもつから(1)より \quad a \ne \dfrac{9}{2}$

$よって \quad k=-\dfrac{3a+19}{2a-9}$

$0 \leqq k \leqq 1 \ \ だから \quad 0 \leqq -\dfrac{3a+19}{2a-9} \leqq 1$

(i)$\ \ 0 \leqq -\dfrac{3a+19}{2a-9} \ \ より$

$\quad (3a+19)(2a-9) \leqq 0$

$\quad -\dfrac{19}{3} \leqq a <\dfrac{9}{2}$

(ii)$ \ \ -\dfrac{3a+19}{2a-9} \leqq 1 \ \ より$

$\quad 1+ \dfrac{3a+19}{2a-9} \geqq 0 $

$\quad \dfrac{5a+10}{2a-9} \geqq 0$

$\quad 5(a+2)(2a-9) \geqq 0$

$\quad a \leqq -2,\quad a > \dfrac{9}{2}$

(i),(ii)$\ \ をともに満たす \ a\ の範囲は \quad -\dfrac{19}{3}\leqq a \leqq -2$


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