名古屋大学(理系) 2026年　問題1


$点\ O\ を原点とする \ xy\ 平面において、曲線 \ y=\dfrac{1}{x}\ の第 \ 1\ 象限にある部分を \ C\ とし、C\ 上の \ 2\ 点A(a,\ \dfrac{1}{a}),$
$B(b,\ \dfrac{1}{b})\ \ (ただし \ \ 0 < a < 1,\ \ a < b) \ を考える。\theta=\angle BOA \ \ とおき、2\ 直線 \ OA,\ OB \ と \ C\ で囲まれた部分の$
$面積を \ S\ とする。このとき、以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ S\ を \ a,\ b\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ \theta=\dfrac{\pi}{4}\ \ であるとき、b\ を \ a\ を用いて表せ。$
$(3)\ \ 2\ 点 \ A,\ B\ が \ C\ 上を \ \ \theta=\dfrac{\pi}{4}\ \ をみたしながら動くとき、S\ の最小値を与える \ a\ の値を求めよ。$

(1)

　

$OA:y=\dfrac{1}{a^2}x,\quad OB:y=\dfrac{1}{b^2}x$

\begin{eqnarray*} S &=&\int_0^a\big(\dfrac{1}{a^2}x -\dfrac{1}{b^2}x\big)dx +\int_a^b\big(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{b^2}x\big)dx\\ \\ &=&\big[\dfrac{1}{2a^2}x^2 -\dfrac{1}{2b^2}x^2\big]_0^a + \big[\log x-\dfrac{1}{2b^2}x^2\big]_a^b\\ \\ &=&\big(\dfrac{a^2}{2a^2} -\dfrac{a^2}{2b^2}\big) + \big(\log b- \dfrac{b^2}{2b^2}\big)-\big(\log a - \dfrac{a^2}{2b^2}\big)\\ \\ &=&\log b -\log a \end{eqnarray*}

(2)


$\vec{OA}\cdot \vec{OB} =|\vec{OA}||\vec{OB}|\cos \dfrac{\pi}{4} \ \ より$

$ab+\dfrac{1}{ab}=\sqrt{\big(a^2+\dfrac{1}{a^2}\big)\big(b^2+\dfrac{1}{b^2}\big)} \times \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$2\big(ab+\dfrac{1}{ab}\big)^2=\big(a^2+\dfrac{1}{a^2}\big)\big(b^2+\dfrac{1}{b^2}\big)$

$2\big(a^2b^2+\dfrac{1}{a^2b^2}+2\big)=a^2b^2+\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}+\dfrac{1}{a^2b^2}$

$a^2b^2+\dfrac{1}{a^2b^2}+2=\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}-2$

$\big(ab+\dfrac{1}{ab}\big)^2=\big(\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{a}\big)^2$

$0 < a < b \ \ だから \quad \dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{a} < 0$

$ab+\dfrac{1}{ab}=\dfrac{b}{a}-\dfrac{a}{b}$

$a^2b^2+1=b^2-a^2$

$(1-a^2)b^2=1+a^2$

$0 < a < 1 \ \ だから \quad b^2=\dfrac{1+a^2}{1-a^2}$

$b > 0\ \ だから \quad b=\sqrt{\dfrac{1+a^2}{1-a^2}}$


(3)


$(1) より \ \ S=\log b -\log a \ \ だから(2)で求めた \ b\ を代入して$

$S=\log\big(\sqrt{\dfrac{1+a^2}{1-a^2}}\big)-\log a=\dfrac{1}{2}\big(\log(1+a^2)-\log(1-a^2)\big)-\log a$

\begin{eqnarray*} \dfrac{dS}{da} &=&\dfrac{a}{1+a^2}-\dfrac{-a}{1-a^2}-\dfrac{1}{a}\\ \\ &=&\dfrac{a^2(1-a^2)+a^2(1+a^2)-(1+a^2)(1-a^2)}{a(1+a^2)(1-a^2)}\\ \\ &=&\dfrac{a^4+2a^2-1}{a(1+a^2)(1-a^2)}\\ \end{eqnarray*} $\dfrac{dS}{da}=0 \ \ より \quad a^4+2a^2-1=0$

$a^2 > 0 \ \ だから \quad a^2=-1 +\sqrt{2}$

$a > 0\ \ だから \quad a=\sqrt{\sqrt{2}-1}$

\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} a & 0 & \cdots & \sqrt{\sqrt{2}-1} & \cdots & 1\\ \hline S'& & - & 0 & + & \\ \hline S & & \searrow & 極小 & \nearrow & \\ \end{array} \]
$S \ は \ \ a=\sqrt{\sqrt{2}-1} \ \ で極小かつ最小となる。$


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