名古屋大学(理系) 2024年 問題2
$c\ を \ 1\ より大きい実数とする。また、i\ を虚数単位として、\alpha=\cfrac{1-i}{\sqrt{2}}\ \ とおく。複素数 \ z\ に対して、$
$P(z)=z^3-3z^2+(c+2)z-c,\qquad Q(z)=-\alpha ^7z^3+3\alpha ^6z^2+(c+2)\alpha z-c \quad と定める。$
$(1)\ \ 方程式 \ P(z)=0\ \ を満たす複素数 \ z\ をすべて求め、それらを複素数平面上に図示せよ。$
$(2)\ \ 方程式 \ Q(z)=0\ \ を満たす複素数 \ z\ のうち実部が最大のものを求めよ。$
$(3)\ \ 複素数\ z\ についての \ 2\ つの方程式 \ \ P(z)=0,\ \ Q(z)=0\ \ が共通解 \ \beta \ を持つとする。$
$\quad そのときの \ c\ の値と \ \beta \ を求めよ。$
(1)
\begin{eqnarray*} P(z) &=&z^3-3z^2+(c+2)z-c \\ \\ &=&(z-1)c+z^3-3z^2+2z\\ \\ &=&(z-1)c+z(z^2-3z+2)\\ \\ &=&(z-1)c+z(z-1)(z-2)\\ \\ &=&(z-1)(z(z-2)+c)\\ \\ &=&(z-1)(z^2-2z+c)\\ \end{eqnarray*}
$P(z)=0 \quad を解いて$
$z-1=0 \quad より \quad z=1$
$z^2-2z+c =0 \quad より \quad z=1 \pm \sqrt{1-c}=1 \pm \sqrt{c-1}i$
$方程式 \ P(z)=0\ \ を満たす複素数 \ z\ は$
$z_1=1,\quad z_2=1 + \sqrt{c-1}i,\quad z_3=1- \sqrt{c-1}i$
$これらの解を複素数平面上に図示すると右図のとおり$
(2)
$\alpha=\cfrac{1-i}{\sqrt{2}}=\cos \cfrac{7}{4}\pi+ i\sin \cfrac{7}{4}\pi \quad より$
$\alpha ^4=\cos 7\pi+ i\sin 7\pi=-1 \quad だから$
\begin{eqnarray*} Q(z) &=&-\alpha ^7z^3+3\alpha ^6z^2+(c+2)\alpha z-c \\ \\ &=&-\alpha ^4(\alpha z)^3+ 3\alpha ^4 (\alpha z)^2+ (c+2)\alpha z-c \\ \\ &=&(\alpha z)^3 - 3(\alpha z)^2+ (c+2)\alpha z-c \end{eqnarray*}
$したがって、\alpha z=w \quad とおくと \quad Q(z)=P(w) $
$すなわち、Q(z)=0 \ \ の解は \ \ P(w)=0 \ \ の解に対応する。$
$そこでこれ以降は、P(z)=0\ \ の解は \ \ w_1,\ w_2,\ w_3\ \ と表し、Q(z)=0\ \ の解は \ \ z_1,\ z_2,\ z_3 \ \ と表すことにする。$
$(1)より\ \ P(w)=0\ \ の解は \ \ w_1=1,\quad w_2=1 + \sqrt{c-1}i,\quad w_3=1- \sqrt{c-1}i \quad だから$
$Q(z)=0 \quad の解は \quad \cfrac{1}{\alpha}=\cfrac{\sqrt{2}}{1-i}=\cfrac{1+i}{\sqrt{2}}\quad より$
$z_1=\cfrac{w_1}{\alpha}=1 \times \cfrac{1+i}{\sqrt{2}} =\cfrac{1}{\sqrt{2}}+ \cfrac{1}{\sqrt{2}}i$
$z_2=\cfrac{w_2}{\alpha}=(1+\sqrt{c-1}i) \times \cfrac{1+i}{\sqrt{2}} =\cfrac{1-\sqrt{c-1}}{\sqrt{2}}+ \cfrac{1+\sqrt{c-1}}{\sqrt{2}}i$
$z_3=\cfrac{w_3}{\alpha}=(1-\sqrt{c-1}i) \times \cfrac{1+i}{\sqrt{2}} =\cfrac{1+\sqrt{c-1}}{\sqrt{2}}+\cfrac{1-\sqrt{c-1}}{\sqrt{2}}i$
$Q(z)=0\ \ を満たす複素数 \ z\ のうち実部が最大のものは \quad z_3=\cfrac{1+\sqrt{c-1}}{\sqrt{2}}+\cfrac{1-\sqrt{c-1}}{\sqrt{2}}i$
$(補充)$
$|z|=|\dfrac{w}{\alpha}|=\dfrac{|w|}{|\alpha|}=|w|,\quad \arg(z)=\arg \big(\dfrac{w}{\alpha}\big)=\arg(w) + \cfrac{\pi}{4} \quad だから$
$z \ \ は \ w\ を原点の回りに \ \ \cfrac{\pi}{4}\ \ 回転した複素数である。$
$w_1,\ \ w_2,\ \ w_3\ \ を原点の回りに \ \ \cfrac{\pi}{4}\ \ 回転すると右図のようになるから$
$実部が最大のものは \quad z_3=\cfrac{w_3}{\alpha} $
(3)
$Q(z)=0\ の解 \ \ z_1,\quad z_2,\quad z_3 \quad は \ P(z)=0 \ の解 \ w_1,\ \ w_2,\ \ w_3\ \ を原点の回りに \ \ \cfrac{\pi}{4}\ \ 回転したものだから$
$w_1,\ \ w_2 \ \ が共通解になることはない。$
$回転して重なる(一致する)のは、w_2 \ \ と \ \ z_3=\cfrac{w_3}{\alpha} \ \ である。$
$したがって 共通解は \quad \beta =w_2 =z_3$
$1+\sqrt{c-1}i=\cfrac{1+\sqrt{c-1}}{\sqrt{2}}+\cfrac{1-\sqrt{c-1}}{\sqrt{2}}i$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} 1=\cfrac{1+\sqrt{c-1}}{\sqrt{2}} \hspace{7.5em}①\\ \sqrt{c-1}=\cfrac{1-\sqrt{c-1}}{\sqrt{2}} \hspace{5em}②\\ \end{array} \right. \]
$①より \quad 1+\sqrt{c-1} =\sqrt{2}$
$\sqrt{c-1}=\sqrt{2}-1$
$c-1=3-2\sqrt{2}$
$c=4-2\sqrt{2}$
$②より \quad (\sqrt{2}+1)\sqrt{c-1}=1$
$\sqrt{c-1}=\cfrac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$
$c=4-2\sqrt{2}$
$①②を満たす \ c\ は一致したので \quad c=4-2\sqrt{2}$
\begin{eqnarray*} \beta &=&w_2\\ \\ &=&1+\sqrt{c-1}\ i\\ \\ &=&1+\sqrt{3-2\sqrt{2}}\ i\\ \\ &=&1+\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}\ i\\ \\ &=&1+ (\sqrt{2}-1)i \end{eqnarray*}
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