名古屋大学(理系) 2024年　問題1


$関数 \ f(x)=\sqrt{x}+\cfrac{2}{\sqrt{x}}\ \ (x > 0)\ \ に対して、y=f(x)\ のグラフを \ C\ とする。$
$(1)\ \ f(x)\ の極値を求めよ。$
$(2)\ \ x\ 軸上の点P(t,\ 0)\ から \ C\ にちょうど \ 2\ 本の接線を引くことができるとする。そのような実数 \ t\ の$
$\quad 値の範囲を求めよ。$
$(3)\ \ (2)において、C\ の \ 2\ つの接点の \ x\ 座標を \ \alpha,\ \ \beta\ \ (\alpha < \beta ) \ \ とする。\alpha,\ \ \beta \ \ がともに整数であるような$
$\quad 組(\alpha,\ \beta) \ \ をすべて求めよ。$


(1)


$f(x)=\sqrt{x}+\cfrac{2}{\sqrt{x}}=x^{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}}+ 2x^{\scriptsize{-\dfrac{1}{2}}} \quad より$

$f'(x)=\cfrac{1}{2}x^{\scriptsize{-\dfrac{1}{2}}}- x^{\scriptsize{-\dfrac{3}{2}}}=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}-\cfrac{1}{x\sqrt{x}}=\cfrac{x-2}{2x\sqrt{x}}$

$f'(x)=0 \quad より \quad x=2$

\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x& 0 & \cdots & 2 & \cdots \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & & \searrow & 極小 & \nearrow & \\ \end{array} \]

　
$x=2\ で \ f(x)\ は極小となり、極小値は$

$\quad f(2)=\sqrt{2}+\cfrac{2}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$

$x \longrightarrow +0 \ \ のとき \ \ f(x) \longrightarrow +\infty \ \ だから \ \ y=\cfrac{2}{\sqrt{x}}\ \ は漸近線$

$x \longrightarrow +\infty \ \ のとき \ \ f(x) \longrightarrow +\infty \ \ だから \ \ y=\sqrt{x}\ \ は漸近線$

$y=f(x)\ \ のグラフは右のとおり$


(2)


$接点を \ Q(a,\ f(a))\ \ とおくと接線は$

$y=\cfrac{a-2}{2a\sqrt{a}}(x-a)+\sqrt{a}+\cfrac{2}{\sqrt{a}}$

$これが \ P(t,\ 0) \ \ を通るから$

$0=\cfrac{a-2}{2a\sqrt{a}}(t-a)+\sqrt{a}+\cfrac{2}{\sqrt{a}}$

$(a-2)(t-a)+ 2a\sqrt{a}(\sqrt{a}+\cfrac{2}{\sqrt{a}})=0$

$a^2+(t+6)a-2t=0$

$2\ 本の接線を引くことができるということは、異なる \ 2\ つの正の実数 \ a\ が求まるということだから$

$y=a^2+(t+6)a-2t \quad とおくと$

(i)$\ \ y=0 \ \ の判別式について$

$\quad D=(t+6)^2-4 \cdot 1 \cdot (-2t) > 0$

$\quad t^2+20t+36 > 0$

$\quad (t+2)(t+18)>0$

$\quad t<-18,\quad t>-2$

(ii)$\ \ 軸について$

$\quad a=-\cfrac{t+6}{2} > 0$

$\quad t < -6$

(iii)$\ \ y\ 軸との交点について$

$\quad -2t>0 \qquad t < 0 $

(i),(ii),(iii)$\ \ より \quad t < -18$


(3)


$C\ の \ 2\ つの接点の \ x\ 座標は \quad a^2+(t+6)a-2t=0 \quad の解だから$

$解と係数の関係より$

\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} \alpha +\beta =-(t+6) \hspace{5em}①\\ \alpha \beta=-2t \hspace{8.5em}②\\ \end{array} \right. \] $②より \quad t=-\cfrac{\alpha \beta}{2}\quad を①に代入して$

$\alpha +\beta =\cfrac{\alpha \beta}{2}-6$

$\alpha \beta -2\alpha -2\beta -12=0$

$(\alpha -2)(\beta -2)=16$

$\alpha,\ \ \beta \ \ がともに整数であるような \quad 0 < \alpha < \beta \quad を満たす組は$

\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} \alpha -2=1 , \quad \ \ 2\\ \beta -2 =16 , \quad 8\\ \end{array} \right. \]
$したがって \quad (\alpha,\ \beta)=(3,\ 18),\quad (4,\ 10)$


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