名古屋大学(理系) 2023年 問題4
\[n\ を正の整数とし、n\ 次の整式 \ P_n(x) = x(x+1) \cdots (x+n-1)\ を展開して \ \ P_n(x) = \sum_{m=1}^n {}_nB_m x^m \ \ と表す。\]
\[(1)\ \ 等式 \ \ \sum_{m=1}^n {}_nB_m=n! \ \ を示せ。\]
\[(2)\ \ 等式 \ \ P_n(x+1)=\sum_{m=1}^n \big({} _nB_m \dot {}_mC_0 +{} nB_m \dot {}_mC_1 x+ \cdots + {}_nB_m \dot {}_mC_m x^m )\ \ を示せ。\]
$\qquad ただし、{}_mC_0 , \ {}_mC_1 \ \cdots , \ {}_mC_m \ は二項係数である。$
\[(3)\ \ k=1,\ 2,\ \cdots ,\ n \ に対して、等式 \ \ \sum_{j=k}^n {}_nB_j \dot {}_jC_k = {}_{n+1}B_{k+1} \ \ を示せ。\]
(1)
\[整式の定義から \quad P_n(1) = 1\cdot 2 \cdots n =n!\] \[係数の定義から \quad P_n(1) = \sum_{m=1}^n {}_nB_m \] \[よって \ \ \sum_{m=1}^n {}_nB_m=n! \]
$例えば \quad P_3(x)=x(x+1)(x+2)=x^3+3x^2+2x \quad だから$
$\qquad {}_3B_1+{}_3B_2+{}_3B_3=2+3+1=6=3!$
(2)
\begin{eqnarray*} P_n(x+1) &=&\sum_{m=1}^n {}_nB_m (x+1)^m \\ \\ &=&\sum_{m=1}^n {}_nB_m \big({}_mC_0 +{}_mC_1 x + \cdots + {}_mC_m x^m\big)\\ \\ &=&\sum_{m=1}^n \big({}_nB_m \dot {}_mC_0 +{}_nB_m \dot {}_mC_1 x+ \cdots + {}_nB_m \dot {}_mC_m x^m \big) \end{eqnarray*}
(3)
$P_n(x+1)=(x+1)(x+2) \cdots (x+n) \quad の両辺に \ x\ をかけて$
\[xP_n(x+1)=x(x+1)(x+2) \cdots (x+n)=\sum_{m=1}^{n+1} {}_{n+1}B_m x^m \] \[よって \sum_{m=1}^{n+1} {}_{n+1}B_m x^m =xP_n(x+1)\] $両辺を \ x\ で割って$
\[\quad \sum_{m=1}^{n+1} {}_{n+1}B_m x^{m-1} =P_n(x+1)\] $左辺の \ x^k \ の係数は \ \ m=k+1\ \ だから \quad {}_{n+1}B_{k+1}$
$右辺の \ x^k\ の係数は(2)より$
\begin{eqnarray*} P_n(x+1) &=&\sum_{m=1}^n \big({}_nB_m \dot {}_mC_0 +{}_nB_m \dot {}_mC_1 x+ \cdots + {}_nB_m \dot {}_mC_m x^m \big)\\ \\ &=& (\cdots + {}_nB_k \dot {}_kC_k x^k + \cdots) + (\cdots + {}_nB_{k+1} \dot {}_{k+1}C_k x^k + \cdots)+ \cdots + (\cdots + {}_nB_n \dot {}_nC_k x^k + \cdots )\\ \end{eqnarray*}
$よって \quad x^k\ の係数は$
\[\quad {}_nB_k \dot {}_kC_k + {}_nB_{k+1} \dot {}_{k+1}C_k + \cdots + {}_nB_n \dot {}_nC_k =\sum_{j=k}^n {}_nB_j \dot {}_jC_k\] \[したがって \sum_{j=k}^n {}_nB_j \dot {}_jC_k = {}_{n+1}B_{k+1} \]
$(感想)$
$問題は簡潔ですが、結構やっかいな問題です。短時間でうまいアイデアが浮かぶものでしょうか。$
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