名古屋大学(理系) 2023年　問題1


$実数係数の \ 4\ 次方程式 \ \ x^4-px^3+qx^2-rx+s=0 \ \ は相異なる複素数 \ \alpha,\ \overline{\alpha},\ \beta,\ \overline{\beta}\ を解に持ち、それらは$
$全て複素数平面において、点 \ 1\ を中心とする半径 \ 1\ の円周上にあるとする。ただし、\overline{\alpha},\ \overline{\beta} \ はそれぞれ$
$\alpha,\ \beta \ と共役な複素数を表す。$
$(1)\ \ \alpha +\overline{\alpha}=\alpha \overline{\alpha} \ \ を示せ。$
$(2)\ \ t=\alpha +\overline{\alpha},\ \ u=\beta + \overline{\beta} \ \ とおく。p,\ q,\ r,\ s \ をそれぞれ \ t\ と \ u\ で表せ。$
$(3)\ \ 座標平面において、点(p,\ s)\ のとりうる範囲を図示せよ。$

　

(1)


$\alpha \ は、点 \ 1\ を中心とする半径 \ 1\ の円周上にあるから \quad |\alpha -1 |=1 $

$両辺を平方して \qquad |\alpha -1|^2=1$

$(\alpha -1)(\overline{\alpha -1})=1$

$(\alpha -1)(\overline{\alpha} -1)=1 $

$\alpha \overline{\alpha} -(\alpha + \overline{\alpha}) +1=1 $

$\therefore \ \ \alpha + \overline{\alpha} =\alpha \overline{\alpha}$


$同様にして \quad \beta + \overline{\beta} =\beta \overline{\beta} \quad がいえる。$


(2)


$x^4-px^3+qx^2-rx+s=0 \quad は相異なる複素数 \ \alpha,\ \overline{\alpha},\ \beta,\ \overline{\beta}\ を解に持つから$
\begin{eqnarray*} & &x^4-px^3+qx^2-rx+s\\ \\ &=&(x-\alpha)(x-\overline{\alpha})(x-\beta)(x-\overline{\beta})\\ \\ &=&\big(x^2-(\alpha +\overline{\alpha})x +\alpha \overline{\alpha}\big)\big(x^2-(\beta +\overline{\beta})x +\beta \overline{\beta}\big)\\ \\ &=&\big(x^2-(\alpha +\overline{\alpha})x +\alpha +\overline{\alpha}\big)\big(x^2-(\beta +\overline{\beta})x +\beta + \overline{\beta}\big)\\ \\ &=&(x^2-tx +t)(x^2-ux +u)\\ \\ &=&x^4-(t+u)x^3+(t+tu+u)x^2 -2tux +tu\\ \end{eqnarray*}
$係数を比べて \quad p=t+u ,\quad q=t+tu+u ,\quad r= 2tu ,\quad s=tu $


(3)


$(2)より\quad t+u=p ,\quad tu=s \quad だから \quad t,\ u \ は \ \ x^2-px+s=0 \ \ の異なる実数解である。$

$\alpha \ne \overline{\alpha} \quad だから \ \ \alpha \ の実部 \ Re(\alpha) \ は \quad 0 < Re(\alpha) < 2 \quad で \quad 　Re(\overline{\alpha})=Re(\alpha) \quad だから$

$t=\alpha +\overline{\alpha} =2Re(\alpha) \quad よって \quad 0 < t < 4$

$同様にして \quad u=\beta +\overline{\beta} =2Re(\beta) \quad より \quad 0 < u < 4$

　

$このような条件は$

(i)$\ \ D=p^2-4s > 0 \qquad s < \cfrac{p^2}{4}$

(ii)$\ \ 軸について \qquad 0 < \cfrac{p}{2} < 4 \qquad 0 < p < 8$

(iii)$\ \ f(x)=x^2-px+s \quad とおくと$

$\quad f(0)=s >0 $

$\quad f(4)=16-4p+s > 0 \qquad s > 4p-16$

(i),(ii),(iii)$\ \ をみたす範囲は右図のとおりであり、境界を含まない。$

$なお、s=\cfrac{p^2}{4}\ \ と \ \ s=4p-16 \ \ の交点は$

$\quad \cfrac{p^2}{4}=4p-16 \quad より \quad p^2-16p+64=0 \qquad (p-8)^2=0$

$したがって \quad p=8\ は重解だから、点(8,\ 16)\ \ で接している。$


ページの先頭へ↑




メインメニュー　に戻る