名古屋大学(理系) 2022年　問題4


$関数 \ f(x)\ は区間 \ x \geqq 0\ において連続な増加関数で \ f(0)=1\ を満たすとする。ただし \ f(x)\ が区間 \ x \geqq 0 \ に$
$おける増加関数であるとは、区間内の任意の実数 \ x_1,\ x_2\ に対し \ \ x_1 < x_2 \ \ ならば \ \ f(x_1) < f(x_2) \ \ が成り立つ$
$ときをいう。以下、n\ は正の整数とする。$
\[(1)\ \ \lim_{n \rightarrow \infty} \int _0^{2-\scriptsize{\cfrac{1}{n}}} \cfrac{f(x)}{2-x} dx=\infty \ \ を示せ。\] \[(2)\ \ 区間 \ y >2\ において関数 \ F_n(y)\ を \ F_n(y)=\int _{2+\scriptsize{\cfrac{1}{n}}}^y \cfrac{f(x)}{x-2} dx \ \ と定めるとき、\lim_{y \rightarrow \infty} F_n(y)=\infty \ \ を示せ。\] \[\quad また、2+\cfrac{1}{n}\ より大きい実数 \ a_n\ で \ \ \int _0^{2-\scriptsize{\cfrac{1}{n}}} \cfrac{f(x)}{2-x} dx + \int _{2+\scriptsize{\cfrac{1}{n}}}^{a_n} \cfrac{f(x)}{2-x} dx=0 \ \ を満たすものがただ \ 1\ つ\] $\quad 存在することを示せ。$
$(3)\ \ (2)の \ a_n\ について、不等式 \ \ a_n < 4 \ \ がすべての \ n\ に対して成り立つことを示せ。$


$(解説)$

$(1)\ \ f(x) > 1 \ \ をつかって　定積分を下から評価します。$
$(2)\ \ 前半は(1)と同様に示します。後半は単調性を導いて、中間値の定理で示します。$
$(3)\ \ 意外に難問です。区間 \ [a_n,\ 4]\ の定積分の値が負となることを示します。$


(1)


$f(x)\ は \ x \geqq 0\ において連続な増加関数だから \quad f(x) \geqq f(0)=1$

$積分区間が \quad 0 \leqq x \leqq 2-\cfrac{1}{n} \quad だから \quad 2-x \geqq \cfrac{1}{n} > 0$

$したがって \quad \cfrac{f(x)}{2-x} \geqq \cfrac{1}{2-x} >0$
\[\int _0^{2-\scriptsize{\cfrac{1}{n}}} \cfrac{f(x)}{2-x} dx \geqq \int _0^{2-\scriptsize{\cfrac{1}{n}}} \cfrac{1}{2-x} dx =\big[-\log(2-x)\big] _0^{2-\scriptsize{\cfrac{1}{n}}}=-\log\cfrac{1}{n} + \log 2=\log n + \log 2\] \[n \longrightarrow \infty \quad とすると \quad \log n \longrightarrow \infty \quad だから \quad \lim_{n \rightarrow \infty} \int _0^{2-\scriptsize{\cfrac{1}{n}}} \cfrac{f(x)}{2-x} dx=\infty \]

(2)


$(前半)$

$積分区間が \quad 　2+\cfrac{1}{n} \leqq x \quad だから \quad x >2$

$したがって \quad \cfrac{f(x)}{x-2} \geqq \cfrac{1}{x-2} >0$
\[F_n(y)=\int _{2+\scriptsize{\cfrac{1}{n}}}^y \cfrac{f(x)}{x-2} dx \geqq \int _{2+\scriptsize{\cfrac{1}{n}}}^y \cfrac{1}{x-2} dx =\big[\log(x-2)\big] _{2+\scriptsize{\cfrac{1}{n}}}^y=\log(y-2)-\log\cfrac{1}{n} =\log(y-2)+ \log n\] \[y \longrightarrow \infty \quad とすると \quad \log (y-2) \longrightarrow \infty \quad だから \quad \lim_{y \rightarrow \infty} F_n(y)=\infty \]
$(後半)$

\[G_n(y)=\int _0^{2-\scriptsize{\cfrac{1}{n}}} \cfrac{f(x)}{2-x} dx + \int _{2+\scriptsize{\cfrac{1}{n}}}^y \cfrac{f(x)}{2-x} dx \quad とおくと\] \[G_n(y)=\int _0^{2-\scriptsize{\cfrac{1}{n}}} \cfrac{f(x)}{2-x} dx - \int _{2+\scriptsize{\cfrac{1}{n}}}^y \cfrac{f(x)}{x-2} dx= \int _0^{2-\scriptsize{\cfrac{1}{n}}} \cfrac{f(x)}{2-x} dx - F_n(y)\] $G_n'(y)=-F_n'(y)=-\cfrac{f(y)}{y-2} \quad だから \ \ y > 2 \ \ のとき \quad G_n'(y) < 0$

$したがって \quad G_n(y)\ は \ \ y >2\ \ で単調減少$

　
$y \longrightarrow \infty \quad とすると \quad F_n(y) \longrightarrow \infty \quad だから \quad G_n(y) \longrightarrow -\infty $
\[また、(1)より \quad G_n(2+\cfrac{1}{n})=\int _0^{2-\scriptsize{\cfrac{1}{n}}} \cfrac{f(x)}{2-x} dx >0\] $よって、中間値の定理より \quad G_n(a_n)=0 \quad すなわち$
\[\quad \int _0^{2-\scriptsize{\cfrac{1}{n}}} \cfrac{f(x)}{2-x} dx + \int _{2+\scriptsize{\cfrac{1}{n}}}^{a_n} \cfrac{f(x)}{2-x} dx=0\] $を満たす実数 \ a_n \ が区間 \ \ (2+\cfrac{1}{n},\infty) \ \ にただ \ 1\ つ存在する。$


(3)


$(2)の \ G_n(y)\ に対して$
\begin{eqnarray*} G_n(4) &=&\int _0^{2-\scriptsize{\cfrac{1}{n}}} \cfrac{f(x)}{2-x} dx + \int _{2+\scriptsize{\cfrac{1}{n}}}^4 \cfrac{f(x)}{2-x} dx\\ \\ &=&\int _0^{2-\scriptsize{\cfrac{1}{n}}} \cfrac{f(x)}{2-x} dx + \int _{2+\scriptsize{\cfrac{1}{n}}}^{a_n} \cfrac{f(x)}{2-x} dx + \int _{a_n}^4 \cfrac{f(x)}{2-x} dx \\ \\ &=&\int _{a_n}^4 \cfrac{f(x)}{2-x} dx \\ \end{eqnarray*}

　
$ここで積分区間は \quad 2+\cfrac{1}{n} < a_n \leqq x \leqq 4 \quad だから \quad 2 < x$

\[\cfrac{f(x)}{2-x} < 0 \qquad \therefore \ \ \int _{a_n}^4 \cfrac{f(x)}{2-x} dx < 0\] $よって \quad G_n(4) < 0 \quad となり \ \ G_n(y)\ は単調減少だから \quad a_n < 4$


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