名古屋大学(理系) 2022年 問題3
$複素数平面上に、原点\ O\ を頂点の \ 1\ つとする正六角形 \ OABCDE\ が与えられている。ただしその頂点は$
$時計の針の進む方向と逆向きに \ O,A,B,C,D,E\ とする。互いに異なる \ 0\ でない複素数 \ \alpha,\ \beta,\ \gamma \ が$
$\qquad 0 \leqq \arg(\cfrac{\beta}{\alpha}) \leqq \pi , \quad 4\alpha ^2 -2\alpha \beta +\beta ^2=0, \quad 2\gamma ^2-(3\alpha +\beta +2)\gamma +(\alpha +1)(\alpha + \beta )=0$
$を満たし、\alpha,\ \beta,\ \gamma \ のそれぞれが正六角形 \ OABCDE\ の頂点のいずれかであるとする。$
$(1)\ \ \cfrac{\beta}{\alpha} \ \ を求め、\alpha,\ \beta \ がそれぞれどの頂点か答えよ。$
$(2)\ \ 組 \ (\alpha,\ \beta,\ \gamma)\ をすべて求め、それぞれの組について正六角形 \ OABCDE\ を複素数平面上に図示せよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ 条件式の第 \ 2\ 式を \ \cfrac{\beta}{\alpha}\ について解き、第 \ 1\ 式で \ 1\ つに絞ります。$
$(2)\ \ 条件式の第 \ 3\ 式を因数分解して \ \gamma \ を \ \alpha,\ \beta \ で表しますが、1\ つは不適です。\ \ \gamma を表す頂点は \ 3\ 通りあります。$
(1)
$\alpha,\ \beta,\ \gamma \ は0\ でないから原点 \ Oではない。 $
$4\alpha ^2 -2\alpha \beta +\beta ^2=0 \quad より \quad \beta ^2 -2\alpha \beta + 4\alpha ^2= 0 $
$両辺を \ \alpha ^2 \ で割って \quad \big(\cfrac{\beta}{\alpha}\big)^2 -2\big(\cfrac{\beta}{\alpha}\big) + 4=0 $
$\cfrac{\beta}{\alpha}=1\pm \sqrt{3}i=2(\cfrac{1}{2} \pm \cfrac{\sqrt{3}}{2}i)=2(\cos (\pm\cfrac{\pi}{3})+i\sin (\pm \cfrac{\pi}{3}))$
$0 \leqq \arg(\cfrac{\beta}{\alpha}) \leqq \pi \quad だから \quad \cfrac{\beta}{\alpha}=2(\cos \cfrac{\pi}{3} +i\sin \cfrac{\pi}{3})$
(i)$\ \ \big|\cfrac{\beta}{\alpha}\big|=2 \quad より \quad |\beta |=2|\alpha |$
(ii)$\ \ \arg(\cfrac{\beta}{\alpha})=\cfrac{\pi}{3} \quad より \quad \arg \beta =\arg \alpha +\cfrac{\pi}{3}$
(i),(ii)$\ \ を満たす頂点は \ A\ が \ \alpha ,\ \ C\ が \ \beta \ である。$
(2)
$2\gamma ^2-(3\alpha +\beta +2)\gamma +(\alpha +1)(\alpha + \beta )=0 \quad より$
$\quad (2\gamma -(\alpha + \beta ))(\gamma -(\alpha +1))=0$
$\quad \gamma =\cfrac{\alpha +\beta }{2},\quad \alpha +1$
$(Ⅰ)\ \ \gamma =\cfrac{\alpha +\beta }{2} \quad のとき$
$\quad \vec{OB}=\vec{OA}+\vec{AB}=\vec{OA}+\cfrac{1}{2}\vec{OC} \quad だから頂点\ B\ を表す複素数は \quad \alpha +\cfrac{\beta}{2}$
$\quad よって \quad \gamma =\cfrac{\alpha +\beta }{2} \quad をみたす頂点はBではない。$
$\quad 明らかに、\vec{OD},\ \ \vec{OE}\ は \ \cfrac{\alpha +\beta }{2}\ \ ではないので、\gamma \ は頂点 \ D,\ E\ ではない。$
$\quad したがって、\gamma =\cfrac{\alpha +\beta }{2} \quad をみたす頂点はない。$
$(Ⅱ)\ \ \gamma=\alpha +1 \quad のとき$
$\quad \gamma \ と \ \alpha \ の虚部は等しいので、\gamma \ を表す頂点と \ \alpha \ を表す頂点 \ A\ を結ぶ線分は実軸に平行である。$
(i)$\ \ \gamma \ を表す頂点が \ B\ のとき$
$\quad AB=1 \quad だから正六角形の \ 1\ 辺は \ 1\ となる。$
$\quad OA=1 \quad より \quad \alpha =\cos (-\cfrac{\pi}{3})+i\sin (-\cfrac{\pi}{3})=\cfrac{1-\sqrt{3}i}{2}$
$\quad OC=2AB \quad だから \quad \beta =2$
$\quad \gamma =\alpha +1=\cfrac{3-\sqrt{3}i}{2}$
(ii)$\ \ \gamma \ を表す頂点が \ D\ のとき$
$\quad AD=1 \quad だから正六角形の \ 1\ 辺は \ \cfrac{1}{2}\ となる。$
$\quad OA=\cfrac{1}{2} \quad より \quad \alpha =\cfrac{1}{2}(\cos (-\cfrac{2\pi}{3}) + i\sin (-\cfrac{2\pi}{3}))=-\cfrac{1+\sqrt{3}i}{4}$
$\quad OC=AD=1 \quad だから \quad \beta =\cos (- \cfrac {\pi}{3}) +i \sin (-\cfrac{\pi}{3})=\cfrac{1-\sqrt{3}i}{2}$
$\quad \gamma =\alpha +1=\cfrac{3-\sqrt{3}i}{4}$
(iii)$\ \ \gamma \ を表す頂点が \ E\ のとき$
$\quad AE=1 \quad だから \quad OA\sin \cfrac{\pi}{3}=\cfrac{1}{2}\quad より \quad OA=\cfrac{1}{\sqrt{3}}$
$\quad よって、正六角形の \ 1\ 辺は \quad \cfrac{1}{\sqrt{3}}\ となる。$
$\quad \alpha =\cfrac{1}{\sqrt{3}}(\cos (-\cfrac{5\pi}{6}) +i\sin (-\cfrac{5\pi}{6}))=-\cfrac{3+\sqrt{3}i}{6}$
$\quad OC=2OA \quad だから \quad \beta =-\cfrac{2}{\sqrt{3}}i=-\cfrac{2\sqrt{3}}{3}i$
$\quad \gamma =\alpha +1=\cfrac{3-\sqrt{3}i}{6}$
$以上より$
$\quad (\alpha,\ \beta,\ \gamma) =(\cfrac{1-\sqrt{3}i}{2},\ 2,\ \cfrac{3-\sqrt{3}i}{2}),\quad (-\cfrac{1+\sqrt{3}i}{4},\ \cfrac{1-\sqrt{3}i}{2},\ \cfrac{3-\sqrt{3}i}{4}),\quad (-\cfrac{3+\sqrt{3}i}{6}, \ -\cfrac{2\sqrt{3}}{3}i,\ \cfrac{3-\sqrt{3}i}{6})$
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