名古屋大学(理系) 2022年 問題2
$1\ つのサイコロを \ 3\ 回投げる。1\ 回目に出る目を \ a,\ 2\ 回目に出る目を \ b,\ 3\ 回目に出る目を \ c\ とする。$
$なおサイコロは \ 1\ から \ 6\ までの目が等しい確率で出るものとする。$
$(1)\ \ ab+2c \geqq abc \ \ となる確率を求めよ。$
$(2)\ \ ab+2c \ \ と \ \ 2abc \ \ が互いに素となる確率を求めよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ ab \geqq c(ab-2) \quad と変形し \ c\ で分類します。$
$(2)\ \ ab\ が奇数より \ a,\ b\ ともに奇数になります。c\ で分類し、ab\ の値ごとに調べます。$
(1)
$ab+2c \geqq abc \quad より \quad ab \geqq c(ab-2) \quad と変形し、これで考える。$
(i)$\ \ c=1 \quad のとき \quad ab \geqq ab-2$
$\qquad これを満たす \ (a,\ b)\ は任意であるから \quad 6^2=36\ \ 通り$
(ii)$\ \ c=2 \quad のとき \quad ab \geqq 2(ab-2) \qquad ab \leqq 4$
$\qquad これを満たす \ (a,\ b)\ は\ \ (1,\ 1),\ (1,\ 2),\ (1,\ 3),\ (1,\ 4),\ (2,\ 1),\ (2,\ 2),\ (3,\ 1),\ (4,\ 1)\ \ の \quad 8\ \ 通り$
(iii)$\ \ c=3 \quad のとき \quad ab \geqq 3(ab-2) \qquad ab \leqq 3$
$\qquad これを満たす \ (a,\ b)\ は\ \ (1,\ 1),\ (1,\ 2),\ (1,\ 3),\ (2,\ 1),\ (3,\ 1)\ \ の \quad 5\ \ 通り$
(iv)$\ \ c=4 \quad のとき \quad ab \geqq 4(ab-2) \qquad ab \leqq \cfrac{8}{3}$
$\qquad これを満たす \ (a,\ b)\ は\ \ (1,\ 1),\ (1,\ 2),\ (2,\ 1)\ \ の \quad 3\ \ 通り$
(v)$\ \ c=5 \quad のとき \quad ab \geqq 5(ab-2) \qquad ab \leqq \cfrac{5}{2}$
$\qquad これを満たす \ (a,\ b)\ は\ \ (1,\ 1),\ (1,\ 2),\ (2,\ 1)\ \ の \quad 3\ \ 通り$
(vi)$\ \ c=6 \quad のとき \quad ab \geqq 6(ab-2) \qquad ab \leqq \cfrac{12}{5}$
$\qquad これを満たす \ (a,\ b)\ は\ \ (1,\ 1),\ (1,\ 2),\ (2,\ 1)\ \ の \quad 3\ \ 通り$
(i) ～(vi)$\ \ は互いに排反だから、全部で \ \ N=36+8+5+3+3+3=58 \ \ 通り$
$よって求める確率は \qquad P=\cfrac{58}{6^3}=\cfrac{29}{108}$
(2)
$ab+2c \ \ と \ \ 2abc \ \ について$
$ab\ が偶数ならば \ \ ab+2c \ は偶数、2abc \ は偶数だから公約数 \ 2\ をもつ。よって \ ab\ は奇数である。$
$ab\ が奇数ならば \ a,\ b\ ともに奇数である。$
$ab=(a,b)\ \ とかくことにすると$
$\quad (1,\ 1)=1,\ (1,\ 3)=(3,\ 1)=3,\ (1,\ 5)=(5,\ 1)=5,\ (3,\ 3)=9,\ (3,\ 5)=(5,\ 3)=15,\ (5,\ 5)=25$
$よって、ab\ の異なる値は \ \ 1,\ 3,\ 5,\ 9,\ 15,\ 25\ \ の \ 6\ 通りである。ただし、ab=3,\ 5,\ 15\ はそれぞれ \ 2\ 通りある。$
$これらの値に対して \quad ab+2c \ \ と \ \ 2abc \ が互いに素になるかどうか調べる。$
(i)$\ \ c=1 \quad のとき$
\[ \qquad \begin{array}{c|c} ab & 1 & 3 & 5 & 9 & 15 & 25 \\ \hline ab+2c & 3 & 5 & 7 & 11 & 17 & 27 \\ \hline 2abc & 2 & 6 & 10 & 18 & 30 & 50 \\ \end{array} \qquad これらはすべて互いに素だから \ 9\ 通り \] (ii)$\ \ c=2 \quad のとき$
\[ \qquad \begin{array}{c|c} ab & 1 & 3 & 5 & 9 & 15 & 25 \\ \hline ab+2c & 5 & 7 & 9 & 13 & 19 & 29 \\ \hline 2abc & 4 & 12 & 20 & 36 & 60 &100 \\ \end{array} \qquad これらはすべて互いに素だから \ 9\ 通り \] (iii)$\ \ c=3 \quad のとき$
\[ \qquad \begin{array}{c|c} ab & 1 & 3 & 5 & 9 & 15 & 25 \\ \hline ab+2c & 7 & 9 & 11 & 15 & 21 & 31 \\ \hline 2abc & 6 & 18 & 30 & 54 & 90 &150 \\ \end{array} \qquad これらのうち互いに素は \ \ 1,\ 5,\ 25\ \ だから \ 4\ 通り \] (iv)$\ \ c=4 \quad のとき$
\[ \qquad \begin{array}{c|c} ab & 1 & 3 & 5 & 9 & 15 & 25 \\ \hline ab+2c & 9 & 11 & 13 & 17 & 23 & 33 \\ \hline 2abc & 8 & 24 & 40 & 72 & 120 & 200 \\ \end{array} \qquad これらはすべて互いに素だから \ 9\ 通り \] (v)$\ \ c=5 \quad のとき$
\[ \qquad \begin{array}{c|c} ab & 1 & 3 & 5 & 9 & 15 & 25 \\ \hline ab+2c & 11 & 13 & 15 & 19 & 25 & 35 \\ \hline 2abc & 10 & 30 & 50 & 90 & 150 & 250 \\ \end{array} \qquad これらのうち互いに素は \ \ 1,\ 3,\ 9 \ だから \ 4\ 通り \] (vi)$\ \ c=6 \quad のとき$
\[ \qquad \begin{array}{c|c} ab & 1 & 3 & 5 & 9 & 15 & 25 \\ \hline ab+2c & 13 & 15 & 17 & 21 & 27 & 37 \\ \hline 2abc & 12 & 36 & 60 & 108 & 180 & 300 \\ \end{array} \qquad これらのうち互いに素は \ \ 1,\ 5,\ 25 \ だから \ 4\ 通り \]
(i) ～(vi)$\ \ は互いに排反だから、全部で \ \ N=9+9+4+9+4+4=39 \ \ 通り$
$よって求める確率は \qquad P=\cfrac{39}{6^3}=\cfrac{13}{72}$
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