名古屋大学(理系) 2021年 問題2
$4\ つの実数を \ \alpha =\log _23,\ \ \beta =\log _35 ,\ \ \gamma =\log _52,\ \ \delta =\cfrac{3}{2}\ \ とおく。以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ \alpha \beta \gamma =1 \ \ を示せ。$
$(2)\ \ \alpha ,\ \ \beta,\ \ \gamma, \ \ \delta \ \ を小さい順に並べよ。$
$(3)\ \ p=\alpha +\beta +\gamma ,\ \ q=\cfrac{1}{\alpha}+\cfrac{1}{\beta}+\cfrac{1}{\gamma} \ \ とし、f(x)=x^3+px^2+qx+1 \ \ とする。$
$\quad このとき \ \ f(-\cfrac{1}{2}),\ \ f(-1)\ \ および \ \ f(-\cfrac{3}{2})\ \ の正負を判定せよ。$
$(解説)$
$(1)は対数の底を変換するだけです。この結果が(3)につかわれます。$
$(2)はどれとどれを比べるか、あれこれ試してみればわかります。$
$(3)は \ p,\ q\ が対称式であることに注意して、定数項の \ 1\ を(1)の結果で置き換えて、f(x)を因数分解します。$
(1)
$\qquad \alpha \beta \gamma =\log _23 \times \cfrac{\log _25}{\log _23} \times \cfrac{\log _22}{\log _25}=\log _22=1$
(2)
(i)$\ \ \cfrac{3}{2}-\log _23=\log _22^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}} -\log _23=\log _2 \cfrac{2\sqrt{2}}{3}$
$\qquad \big(\cfrac{2\sqrt{2}}{3}\big)^2=\cfrac{8}{9} < 1 \quad だから \quad \cfrac{2\sqrt{2}}{3} < 1$
$\quad よって \quad \log _2 \cfrac{2\sqrt{2}}{3} < 0 \quad となり \quad \cfrac{3}{2} < \log _23$
(ii)$\ \ \cfrac{3}{2}-\log _35=\log _33^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}} -\log _35=\log _3 \cfrac{3\sqrt{3}}{5}$
$\qquad \big(\cfrac{3\sqrt{3}}{5}\big)^2=\cfrac{27}{25} > 1 \quad だから \quad \cfrac{3\sqrt{3}}{5} > 1$
$\quad よって \quad \log _3 \cfrac{3\sqrt{3}}{5} > 0 \quad となり \quad \cfrac{3}{2} > \log _35$
(iii)$\ \ \log _35 > \log _33=1,\qquad \log _52 < \log _55=1 \quad だから$
$\qquad \log _52 < 1 < \log _35$
(i),(ii),(iii)$より \quad 0 < \log _52 < 1 < \log _35 < \cfrac{3}{2} < \log _23$
$したがって \qquad 0 < \gamma < 1 < \beta < \cfrac{3}{2} < \alpha $
$ここで、(3)で必要となりますので、\gamma < \cfrac{1}{2} \quad を示します。$
(iv)$\ \ \cfrac{1}{2}-\log _52=\log _55^{\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} -\log _52=\log _5 \cfrac{\sqrt{5}}{2}$
$\qquad \big(\cfrac{\sqrt{5}}{2}\big)^2=\cfrac{5}{4} > 1 \quad だから \quad \cfrac{\sqrt{5}}{2} > 1$
$\quad よって \quad \log _5 \cfrac{\sqrt{5}}{2} > 0 \quad となり \quad \cfrac{1}{2} > \log _52$
$まとめますと \quad 0 < \gamma < \cfrac{1}{2} < 1 < \beta < \cfrac{3}{2} < \alpha $
(3)
$(1) より \alpha \beta \gamma =1 だから$
$\quad q=\cfrac{1}{\alpha}+\cfrac{1}{\beta}+\cfrac{1}{\gamma}=\cfrac{\beta \gamma + \gamma \alpha + \alpha \beta}{\alpha \beta \gamma}=\beta \gamma + \gamma \alpha + \alpha \beta$
$よって$
$\quad f(x)=x^3+px^2+qx+1 =x^3+(\alpha +\beta +\gamma)x^2+ (\beta \gamma + \gamma \alpha + \alpha \beta)x + \alpha \beta \gamma =(x+\alpha)(x+\beta)(x+\gamma)$
(i)$\ \ f(-\cfrac{1}{2})=(-\cfrac{1}{2}+\alpha)(-\cfrac{1}{2}+\beta)(-\cfrac{1}{2}+\gamma)$
$\hspace{4em} -\cfrac{1}{2}+\alpha > 0,\quad -\cfrac{1}{2}+\beta > 0,\quad -\cfrac{1}{2}+\gamma < 0 \quad だから \quad f(-\cfrac{1}{2}) < 0$
(ii)$\ \ f(-1)=(-1+\alpha)(-1+\beta)(-1+\gamma)$
$\hspace{4em} -1+\alpha > 0,\quad -1+\beta > 0,\quad -1+\gamma < 0 \quad だから \quad f(-1) < 0$
(iii)$\ \ f(-\cfrac{3}{2})=(-\cfrac{3}{2}+\alpha)(-\cfrac{3}{2}+\beta)(-\cfrac{3}{2}+\gamma)$
$\hspace{4em} -\cfrac{3}{2}+\alpha > 0,\quad -\cfrac{3}{2}+\beta < 0,\quad -\cfrac{3}{2}+\gamma < 0 \quad だから \quad f(-\cfrac{1}{2}) > 0$
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