レムニスケート



$座標平面上で、2\ 定点 \ A(-a,\ 0),\ B(a,\ 0)\ からの距離の積が \ a^2\ に等しい点 \ P(x,\ y)\ の軌跡をレムニスケートといいます。$

$PA \cdot PB=a^2 \quad より \quad \{(x+a)^2+y^2\}\{(x-a)^2+y^2\}=a^4$

$(x^2+y^2+a^2+2ax)(x^2+y^2+a^2-2ax)=a^4$

$(x^2+y^2+a^2)^2-(2ax)^2=a^4$

$(x^2+y^2)^2+2a^2(x^2+y^2)+a^4-4a^2x^2=a^4$

$(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)$

$これがレムニスケートの \ xy\ 表示ですが、これを極座標に変換すると$

　
$x=r\cos \theta,\quad y=r\sin \theta \ \ (r > 0,\ \ 0 \leqq \theta < 2\pi) \ \ とおいて$

$r^4=2a^2(r^2\cos ^2 \theta -r^2\sin ^2 \theta)$

$r^2=2a^2(\cos ^2 \theta -\sin ^2 \theta)$

$r^2=2a^2\cos 2 \theta $

$右図は \ \ a=\sqrt{2}\ \ のレムニスケートのグラフです。$



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