MY MATH NOTE

$1\quad 4\ 葉形$

　
$\quad 0 \leqq \theta \leqq \cfrac{\pi}{2} \ \ のときは \ \ (1)$
$\quad \cfrac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi \ \ のときは \ \ (2)$
$\quad \pi \leqq \theta \leqq \cfrac{3\pi}{2} \ \ のときは \ \ (3)$
$\quad \cfrac{3\pi}{2} \leqq \theta \leqq 2\pi \ \ のときは \ \ (4)$

$をそれぞれ描きます。$


$r=a\cos 2\theta \quad との関係$

$点 \ Q(r',\ \theta ')\ \ が \quad r=a\sin 2\theta \quad 上にあるとき \quad r'=a\sin 2\theta '$

$点 \ Q\ を原点の回りに \quad -\cfrac{\pi}{4}\ \ 回転した点を \ P(r,\ \theta)\ \ とすると$

　
$r'=r,\quad \theta '=\cfrac{\pi}{4}+\theta \quad だからこれらを上の式に代入して$
$r=a\sin2(\cfrac{\pi}{4}+\theta)$
$r=a\sin(\cfrac{\pi}{2}+2\theta)$
$r=a\cos 2\theta $

$すなわち \ \ 曲線 \ \ r=a\cos 2\theta \ \ のグラフは \ \ r=\sin 2\theta \ \ のグラフを原点の回りに$
$-\cfrac{\pi}{4}\ \ 回転したものだから右図のようになります。$

$2\quad 3\ 葉形$

　
$\quad 0 \leqq \theta \leqq \cfrac{\pi}{3} \ \ のときは \ \ (1)$

$\quad \cfrac{\pi}{3} \leqq \theta \leqq \cfrac{2\pi}{3} \ \ のときは \ \ (2)$

$\quad \cfrac{2\pi}{3} \leqq \theta \leqq \pi \ \ のときは \ \ (3)$

$をそれぞれ描きます。$

$\pi \leqq \theta ' \leqq 2\pi \ \ では$

$\quad r'=-r,\quad \theta'=\pi + \theta \ \ (0 \leqq \theta \leqq \pi) \ \ とおくと$

$\quad r'=\sin3\theta ' \ \ は$

$\quad -r=\sin3(\pi + \theta )=\sin(\pi +3\theta)=-\sin 3\theta \quad だから$

$\quad r=\sin \theta \quad となって \quad 　0 \leqq \theta \leqq \pi \quad のグラフが繰り返されます。$

$したがって$

$\quad \pi \leqq \theta \leqq \cfrac{4\pi}{3} \ \ のときは \ \ (1)$

$\quad \cfrac{4\pi}{3} \leqq \theta \leqq \cfrac{5\pi}{3} \ \ のときは \ \ (2)$

$\quad \cfrac{5\pi}{3} \leqq \theta \leqq 2\pi \ \ のときは \ \ (3)$

$このように、\pi \leqq \theta \leqq 2\pi \ \ では \quad 0 \leqq \theta \leqq \pi \ \ のグラフが繰り返されます。$

$グラフは右図のとおりで、葉が \ 3\ 枚あることからこの名がついています。$


$r=a\cos 3\theta \quad との関係$

$点 \ Q(r',\ \theta ') \ \ が \ \ r=a\sin 3\theta \ \ 上にあるとき \quad r'=a\sin 3\theta '$

$点 \ Q\ を原点の回りに \ \ -\cfrac{\pi}{6}\ \ 回転した点を \ P(r,\ \theta)\ \ とすると$

　
$r'=r,\quad \theta '=\cfrac{\pi}{6}+\theta \quad だからこれらを上の式に代入して$
$r=a\sin3(\cfrac{\pi}{6}+\theta)$
$r=a\sin(\cfrac{\pi}{2}+3\theta)$
$r=a\cos 3\theta $

$すなわち \ \ 曲線 \ \ r=a\cos 3\theta \ \ のグラフは \ \ r=\sin 3\theta \ \ のグラフを原点の回りに$
$-\cfrac{\pi}{6}\ \ 回転したものですから右図のようになります。$

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