九州大学(理系) 2026年　問題4


$以下の問いに答えよ。ただし、\sqrt{2},\ \ \sqrt{3},\ \ \sqrt{6}\ \ が無理数であることは用いてよい。$
$(1)\ \ \sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5+2\sqrt{6}} \ \ を示せ。また、\sqrt{2}+\sqrt{3}\ \ は無理数であることを示せ。$
$(2)\ \ \sqrt{2}+\sqrt{3}\ \ を解にもち、係数がすべて有理数の \ 4\ 次方程式を1つ求めよ。また、その \ 4\ 次方程式の解を$
$\quad すべて求めよ。$
$(3)\ \ \sqrt{2}+\sqrt{3}\ \ を解にもち、係数がすべて有理数の \ 2\ 次方程式は存在しないことを示せ。$


(1)


$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$


$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\theta \ \ とおくと \quad \dfrac{1}{\theta}=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$

$\theta +\dfrac{1}{\theta}=\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)+\big(\sqrt{3}-\sqrt{2}\big)=2\sqrt{3}$

$\theta-\dfrac{1}{\theta}=\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)-\big(\sqrt{3}-\sqrt{2}\big)=2\sqrt{2}$

$よって \quad \sqrt{2}=\dfrac{1}{2}\big(\theta-\dfrac{1}{\theta}\big), \qquad \sqrt{3}=\dfrac{1}{2}\big(\theta+\dfrac{1}{\theta}\big)$

$\theta \ \ が有理数とすると、\dfrac{1}{2}\big(\theta-\dfrac{1}{\theta}\big), \quad \dfrac{1}{2}\big(\theta+\dfrac{1}{\theta}\big) \ \ はともに有理数$

$\sqrt{2},\ \ \sqrt{3}\ \ はともに無理数であるからこれは矛盾である。$

$したがって \quad \theta=\sqrt{2}+\sqrt{3}\ \ は無理数である。$


(2)


$\theta=\sqrt{2}+\sqrt{3} \ \ より \ \ \theta-\sqrt{2}=\sqrt{3} \quad 両辺を平方して$

$\theta^2-2\sqrt{2}\theta+2=3$

$\theta^2-1=2\sqrt{2}\theta \quad 両辺を平方して$

$\theta^4-2\theta^2+1=8\theta ^2$

$\therefore \ \ \theta^4-10\theta^2+1=0$

$これを解いて$

$\theta^2=5 \pm \sqrt{25-1}=5 \pm 2\sqrt{6}$

(i)$\ \ \theta^2=5 + 2\sqrt{6} \ \ のとき$

$\quad \theta ^2=\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)^2 \ \ だから \quad \theta=\pm \big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)$

(ii)$\ \ \theta^2=5 - 2\sqrt{6} \ \ のとき$

$\quad \theta ^2=\big(\sqrt{3}-\sqrt{2}\big)^2 \ \ だから \quad \theta=\pm \big(\sqrt{3}-\sqrt{2}\big)$

$よって \quad \theta=\sqrt{2}+\sqrt{3},\quad -\sqrt{2}-\sqrt{3},\quad -\sqrt{2}+\sqrt{3},\quad \sqrt{2}-\sqrt{3}$


(3)


$\sqrt{2}+\sqrt{3}\ \ を解にもつ、係数がすべて有理数の \ 2\ 次方程式 \ \ ax^2+bx+c\ \ (a \ne 0) \ \ が存在するとすると$

$x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$

$\dfrac{b}{a}=p,\ \ \dfrac{c}{a}=q \ \ とおくと \ \ p,\ \ q \ \ はともに有理数$

$\sqrt{2}+\sqrt{3}\ \ は \ \ x^2+px+q=0 \ \ の解だから$

$\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)^2+p\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)+q=0$

$5+2\sqrt{6}+p\sqrt{2}+p\sqrt{3}+q=0$

$2\sqrt{6}+p\sqrt{2}+p\sqrt{3}=-5-q$

$\sqrt{2},\ \ \sqrt{3},\ \sqrt{6}\ \ は無理数だから左辺は無理数、右辺は有理数だから矛盾する。$

$したがって、\sqrt{2}+\sqrt{3}\ \ を解にもつ、係数がすべて有理数の \ 2\ 次方程式は存在しない。$


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