九州大学(理系) 2026年 問題3
$0 < r < 1 \ \ とする。表が出る確率が \ r,裏が出る確率が \ 1-r \ の硬貨を投げ、表が出た場合は白玉を \ 2\ つ横並び$
$に置き、裏が出た場合は黒玉を \ 1\ つ置く。この要領で硬貨を繰り返し投げ、左から右に \ 1\ 列になるように白玉$
$と黒玉を順に並べていく。例えば、3\ 回硬貨を投げ、結果が順に「裏、表、表」であれば、左から順に「黒、$
$白、白、白、白」と \ 5\ つの玉が並ぶ。$
$n\ を自然数とする。n+2\ 回硬貨を投げたとき、左から \ n,\ n+1,\ n+2\ \ 番目の玉がすべて黒である確率を \ p_n $
$とする。以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ p_1,\ \ p_2\ \ を求めよ。$
$(2)\ \ n \geqq 2 \ \ とする。n+2\ 回硬貨を投げたとき、左から \ \ 1,\ n,\ n+1,\ n+2\ 番目の玉がすべて黒である確率を$
$\quad p_{n-1}\ を用いて表せ。$
$(3)\ \ n \geqq 3 \ \ のとき、p_n \ を \ p_{n-2},\ \ p_{n-1} \ を用いて表せ。$
$(4)\ \ p_n \ を求めよ。$
(1)
$p_1\ は \ 1,\ 2,\ 3\ 番目の玉がすべて黒である確率だから、3\ 回続けて裏が出ればよい。$
$\quad p_1=(1-r)^3$
$p_2\ は \ 2,\ 3,\ 4\ 番目の玉がすべて黒である確率だから、もし \ 1\ 番目の玉が白であれば \ 2\ 番目の玉も白でなければならない。$
$これは不合理だから \ 1\ 番目の玉も黒である。したがって \ 4\ 回続けて裏が出ればよいから$
$\quad p_2=(1-r)^4$
(2)
$1\ 回硬貨を投げる試行 \ T_1\ で、裏が出て黒玉を \ 1\ 個並べる事象の確率は \quad 1-r$
$n+1\ 回硬貨を投げる試行 \ T_2\ を行って、左から \ n-1,\ n,\ n+1\ 番目に黒玉が並ぶ事象の確率は \quad p_{n-1}$
$試行 \ T_1 \ と \ T_2\ を続けて行って、玉を並べると$
$左から \ 1,\ n,\ n+1,\ n+2\ 番目の玉が黒玉となるからこの事象の確率は \quad (1-r)p_{n-1}$
(3)
$p_n\ は \ n,\ n+1,\ n+2 \ 番目の玉がすべて黒である事象の確率であるが、次の \ 2\ 通りの場合がある。$
(i)$\ \ 1\ 番目が白玉の場合$
$\quad 1\ 回硬貨を投げる試行 \ T_1\ で、表が出て白玉を \ 2\ 個並べる事象の確率は \quad r$
$\quad n\ 回硬貨を投げる試行 \ T_2\ を行って、左から \ n-2,\ n-1,\ n \ 番目に黒玉が並ぶ事象の確率は \quad p_{n-2}$
$\quad 試行 \ T_1\ と \ T_2\ を続けて行って、玉を並べると$
$\quad 左から \ 1,\ 2番目が白玉、n,\ n+1,\ n+2 番目の玉が黒玉となるからこの事象の確率は \quad rp_{n-2}$
(ii)$\ \ 1\ 番目が黒玉の場合$
$\quad 1\ 回硬貨を投げる試行 \ T_1\ で、裏が出て黒玉を \ 1\ 個並べる事象の確率は \quad 1-r$
$\quad n\ 回硬貨を投げる試行 \ T_2\ を行って、左から \ n-1,\ n,\ n+1\ 番目に黒玉が並ぶ事象の確率は \quad p_{n-1}$
$\quad 試行 \ T_1\ と \ T_2\ を続けて行って、玉を並べると$
$\quad 左から\ 1\ 番目が黒玉、n,\ n+1,\ n+2\ 番目の玉が黒玉となるからこの事象の確率は \quad (1-r)p_{n-1}$
(i)$と$ (ii)$\ \ は排反事象であるから \quad n \geqq 3\ \ のとき$
$\quad p_n=rp_{n-2}+(1-r)p_{n-1} $
(4)
$p_n=rp_{n-2}+(1-r)p_{n-1}\ より $
\begin{eqnarray*} p_n-p_{n-1} &=&-r(p_{n-1}-p_{n-2})\\ \\ &=&(-r)^2(p_{n-2}-p_{n-3})\\ \\ & & \hspace{5em} \vdots \\ \\ &=&(-r)^{n-2}(p_2-p_1)\\ \\ &=&(-r)^{n-2}\big((1-r)^4-(1-r)^3\big)\\ \\ &=&(1-r)^3(-r)^{n-2}\big(1-r)-1\big)\\ \\ &=&(1-r)^3(-r)^{n-1}\\ \end{eqnarray*}
$次に、次々に \quad n \longrightarrow n-1 \quad とおいて$
$p_n-p_{n-1}=(1-r)^3(-r)^{n-1}$
$p_{n-1}-p_{n-2}=(1-r)^3(-r)^{n-2}$
$\hspace{2em} \vdots $
$p_2-p_1=(1-r)^3(-r)$
$辺々加えて$
$p_n-p_1=(1-r)^3 \big((-r)+(-r)^2+ \cdots (-r)^{n-1}\big)$
\begin{eqnarray*} p_n &=&p_1+(1-r)^3 \times \dfrac{(-r)\big\{1-(-r)^{n-1}\big\}}{1-(-r)}\\ \\ &=&(1-r)^3+(1-r)^3 \times \dfrac{(-r)\big\{1-(-r)^{n-1}\big\}}{1+r}\\ \\ &=&(1-r)^3\big\{1+\dfrac{(-r)\big\{1-(-r)^{n-1}\big\}}{1+r}\\ \\ &=&\dfrac{(1-r)^3\big\{1-(-r)^n\big\}}{1+r}\\ \end{eqnarray*} $とくに \ n=1\ のとき \quad 左辺は(1)より \ \ p_1=(1-r)^3,\qquad 右辺=\dfrac{(1-r)^3\big\{1-(-r)\big\}}{1+r}=(1-r)^3$
$n=1\ のときも成りたつから$
$すべての自然数 \ n\ に対して \qquad p_n=\dfrac{(1-r)^3\big\{1-(-r)^n\big\}}{1+r}$
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