九州大学(理系) 2026年　問題2


$点 \ z\ が複素数平面上の線分 \ \ z=t+ti \ \ \big(\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2} \leqq t \leqq \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\big)\ \ の上を動くとき、z^2-wz+1=0 \ \ をみたす$
$複素数 \ w\ を表す点が描く軌跡を \ C\ とする。ただし、i\ は虚数単位である。以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 軌跡\ C\ を複素数平面上に図示せよ。$
$(2)\ \ t=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2} \ \ のときに複素数 \ w\ を表す点を \ P_1\ とし、t=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2} \ \ のときに複素数 \ w\ を表す点を \ P_2 \ と$
$\quad する。このとき、軌跡 \ C,\ \ 線分 \ OP_1,\ \ 線分 \ OP_2\ \ で囲まれる領域を虚軸の周りに \ 1\ 回転させてできる立体の$
$\quad 体積を求めよ。ただし、O\ は複素数平面の原点である。$


(1)


$z^2-wz+1=0 \ \ より$
\begin{eqnarray*} w &=&\dfrac{z^2+1}{z}\\ \\ &=&z+\dfrac{1}{z}\\ \\ &=&t(1+i)+\dfrac{1}{t(1+i)}\\ \\ &=&t(1+i)+\dfrac{1}{t} \times \dfrac{1-i}{2}\\ \\ &=&\big(t+\dfrac{1}{2t}\big)+\big(t-\dfrac{1}{2t}\big)i\\ \end{eqnarray*} $w=x+yi \ \ (x,\ y \ は実数)\ \ とおくと$

$x=t+\dfrac{1}{2t} ,\quad y=t-\dfrac{1}{2t} $

$x^2-y^2=\big(t+\dfrac{1}{2t}\big)^2-\big(t-\dfrac{1}{2t}\big)^2=2 $

$t > 0\ \ だから \ \ x > 0$

$x=f(t)=t+\dfrac{1}{2t}\ \ とおくと$

$f'(t)=1-\dfrac{1}{2t^2}=\dfrac{2t^2-1}{2t^2}=\dfrac{(\sqrt{2}t+1)(\sqrt{2}t-1)}{2t^2}$

$f'(t)=0 \ \ より \quad t=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$y=g(t)=t-\dfrac{1}{2t}\ \ とおくと$

$f'(t)=1+\dfrac{1}{2t^2} > 0 $

$x,\ y\ \ の増減表は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t & \dfrac{-1+\sqrt{3}}{2} & \cdots & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \cdots & \cfrac{1+\sqrt{3}}{2}\\ \hline f'(t) & & - & 0 & + & \\ \hline g'(t) & & + & + & + & \\ \hline f(t) & \sqrt{3} & \searrow & \sqrt{2} & \nearrow & \sqrt{3} \\ \hline g(t) & -1 & \nearrow & 0 & \nearrow & 1 \\ \end{array} \]

　

$f\big(\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\big)=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}+\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}=\sqrt{3}$

$f\big(\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\big)=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}+\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}=\sqrt{3}$

$f\big(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\big)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2} \times \sqrt{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

$g\big(\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\big)=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}-\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}=-1$

$g\big(\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\big)=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}-\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}=1$

$g\big(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\big)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{2} \times \sqrt{2}=0$

$軌跡 \ C\ は右図のとおり$


(2)

　

$OP_1:y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}x \ \ より \quad x=\sqrt{3}y$

$C:x^2-y^2=2 \ \ より \quad x^2=y^2+2$

$領域は実軸に関して対称であるから$

$C,\ \ 線分 \ OP_1,\ \ 線分 \ OP_2\ \ で囲まれる領域を虚軸の周りに$

$1\ 回転させてできる立体の体積 \ V\ は$
\begin{eqnarray*} V &=&2\pi\int_0^1\big((y^2+2)-(\sqrt{3}y)^2\big)dy\\ \\ &=&2\pi\int_0^1((2-2y^2)dy\\ \\ &=&2\pi\big[2y-\dfrac{2}{3}y^3\big]_0^1\\ \\ &=&\dfrac{8}{3}\pi \end{eqnarray*}

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