九州大学(理系) 2026年　問題1


$座標空間内で、原点 \ O\ を中心とする半径 \ 3\ の球を \ S\ とする。また、点P(1,\ 0,\ \sqrt{3})\ を考え、T_1\ と \ T_2\ を$
$直線 \ OP\ と直交する相異なる \ 2\ つの平面とする。T_1\ と \ S\ の共通部分を \ C_1,\ T_2\ と \ S\ の共通部分を \ C_2\ とし、$
$次の \ 2\ つの条件をみたすとする。$
$\quad ・C_1\ と \ C_2\ はどちらも半径 \ 1\ の円である。$
$\quad ・C_1\ の中心の \ z\ 座標は正で、C_2\ の中心の \ z\ 座標は負である。$
$以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 円 \ C_1,\ C_2\ の中心の座標を求めよ。$
$(2)\ \ 円 \ C_1,\ C_2\ を底面とする円柱の側面を平面 \ z=0 \ で切る。その切り口の曲線の方程式を求めよ。また、$
$\quad その曲線を図示せよ。$


(1)

　

$半径 \ 3\ の球 \ S\ と平面 \ T_1\ の共通部分は半径 \ 1\ の円 \ C_1\ だから中心を \ R_1$

$C_1 \ 上の点を \ A_1 \ とすると$

$\triangle OR_1A_1 \ は直角三角形だから$

$OR_1=\sqrt{OA_1^2-R_1A_1^2}=\sqrt{3^2-1^1}=2\sqrt{2}$

$また、直線 \ OP\ は円 \ C_1\ の中心 \ R_1\ を通るから$

$\vec{OR_1}=k\vec{OP}=k(1,\ 0,\ \sqrt{3})\ \ (k\ は正の実数) \ \ とおける。$

$|\vec{OR_1}|=k\sqrt{1^2+3}=2\sqrt{2} \ \ より \quad k=\sqrt{2}$

　

$\vec{OR_1}=\sqrt{2}(1,\ 0,\ \sqrt{3})=(\sqrt{2},\ 0,\ \sqrt{6})$

$全く同様にして、円C_2 について \quad k=-\sqrt{2} \ \ だから$

$\vec{OR_2}=-\sqrt{2}(1,\ 0,\ \sqrt{3})=(-\sqrt{2},\ 0,\ -\sqrt{6})$

$円 \ C_1,\ C_2\ の中心の座標 \ R_1,\ R_2\ はそれぞれ$

$R_1(\sqrt{2},\ 0,\ \sqrt{6}),\quad R_2(-\sqrt{2},\ 0,\ -\sqrt{6})$


(2)

　

$(解１\ \ 図形的に求める方法)$

$右図は、円柱を、直線OP(軸)に垂直な平面で切った切り口(円)を緑色で示し、$

$その法線ベクトルは、\vec{n_1}=\vec{OP}=(1,\ 0,\ \sqrt{3})$

$平面 \ \ z=0 \ \ (xy\ 平面のこと)\ \ で切った切り口(楕円)を赤色で示し、$

$その法線ベクトルは \ \ \vec{n_2}=(0,\ 0,\ 1)\ \ であるから、\vec{n_1}\ と \ \ \vec{n_2}\ \ の$

$なす角を \ \theta \ \ とすると \qquad \vec{n_1} \cdot \vec{n_2}=2 \times 1 \times \cos \theta$

$一方 \quad \vec{n_1} \cdot \vec{n_2}=(1,\ 0,\ \sqrt{3}) \cdot (0,\ 0,\ 1)=\sqrt{3}\ \ だから$

$2\cos \theta=\sqrt{3} \qquad \cos \theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $

$楕円の長軸を \ 2a,短軸を \ 2b\ とすると$

$\dfrac{1}{a}=\cos \theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \qquad \therefore \ \ a=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$

$短軸は、緑色の円と赤い楕円の交点を結ぶ線分だから \quad b=1$

$よって切り口楕円の方程式は \quad \dfrac{x^2}{(\dfrac{2}{\sqrt{3}})^2}+y^2=1$


$(解２方程式で求める方法)$

　

$円柱の軸に垂直な平面 \ T\ の法線ベクトル \ \ \vec{n}\ \ は$

$\vec{n}=\vec{OP}=(1,\ 0,\ \sqrt{3})\ \ だから$

$T:x+\sqrt{3}z=k \ \ (k\ は実数)\ \ とおける。$

$切り口円の中心 \ C\ は軸上にあるから \ \ C(t,\ 0,\ \sqrt{3}t) \ \ とおけるが、$

$点C\ は平面 \ T\ 上にあるから \qquad t+\sqrt{3} \times \sqrt{3}t=k$

$\therefore \ \ k=4t$

$したがって　T:x+\sqrt{3}z=4t \ \ より \quad t=\dfrac{x+\sqrt{3}z}{4}$

$円上の任意の点を \ Q(x,\ y,\ z)\ \ とおくと,半径は \ 1\ だから、$

$CP:(x-t)^2+y^2+(z-\sqrt{3}t)^2=1$

$\big(x-\dfrac{x+\sqrt{3}z}{4}\big)^2+y^2+(z-\dfrac{\sqrt{3}(x+\sqrt{3}z)}{4}\big)^2=1$

$\big(\dfrac{3x-\sqrt{3}z}{4}\big)^2+y^2+\big(\dfrac{-\sqrt{3}x+z}{4}\big)^2=1$

　

$3x^2-2\sqrt{3}xz+4y^2+z^2=4$

$これが円柱の方程式である。$

$とくに \ \ z=0\ \ のときは$

$3x^2 +4y^2=4$

$\dfrac{3}{4}x^2+y^2=1$


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