九州大学(理系) 2024年 問題5
\[自然数 \ m,\ n\ に対して \quad I(m,\ n)=\int_1^e x^me^x(\log x)^n dx \quad とする。以下の問いに答えよ。\]
$(1)\ \ I(m+1,\ n+1) \ \ を \ \ I(m,\ n+1),\ \ I(m,\ n),\ m,\ n\ を用いて表せ。$
\[(2)\ \ すべての自然数 \ m\ に対して、\lim_{n \rightarrow \infty} I(m,\ n) =0\ \ が成り立つことを示せ。\]
(1)
\begin{eqnarray*} I(m+1,\ n+1) &=&\int_1^e x^{m+1}e^x(\log x)^{n+1} dx\\ \\ &=&\int_1^e e^x\big(x^{m+1}(\log x)^{n+1}\big) dx\\ \\ &=&\big[e^x\big(x^{m+1}(\log x)^{n+1}\big)\big]_1^e -\int_1^e e^x\big\{(m+1)x^m(\log x)^{n+1}+ (n+1)x^{m+1}(\log x)^n \times \cfrac{1}{x}\big\} dx\\ \\ &=&e^e e^{m+1} - (m+1)\int_1^e e^x x^m(\log x)^{n+1}dx - (n+1)\int _1^e e^x x^m(\log x)^n dx\\ \\ \\ &=&e^{m+e+1} - (m+1)I(m,\ n+1) - (n+1)I(m,\ n)\\ \end{eqnarray*}
(2)
$ 1 \leqq x \leqq e \quad において \quad x^me^x(\log x)^n > 0 \quad だから \quad I(m,\ n) >0 $
$I(m+1,\ n+1)=e^{m+e+1} - (m+1)I(m,\ n+1) - (n+1)I(m,\ n) \quad より$
\begin{eqnarray*} I(m,\ n) &=&\cfrac{1}{n+1}\big\{e^{m+e+1} - (m+1)I(m,\ n+1) - I(m+1,\ n+1)\big\}\\ \\ &<&\cfrac{1}{n+1}e^{m+e+1}\\ \end{eqnarray*}
$よって \quad 0 < I(m,\ n) < \cfrac{1}{n+1}e^{m+e+1}$
$n \longrightarrow \infty \quad とすると \quad \cfrac{1}{n+1}e^{m+e+1} \longrightarrow 0 \quad だから、はさみうちの原理により$
\[すべての自然数 \ m\ に対して、\lim_{n \rightarrow \infty} I(m,\ n) =0\ \ が成り立つ。\]
メインメニュー に戻る