九州大学(理系) 2024年　問題3


$以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 自然数 \ a,\ b\ が \ a < b \ をみたすとき、\cfrac{b!}{a!} \geqq b \ \ が成り立つことを示せ。$
$(2)\ \ 2\cdot a!=b! \ \ をみたす自然数の組 \ (a,\ b)\ をすべて求めよ。$
$(3)\ \ a!+b!=2c!\ \ をみたす自然数の組 \ (a,\ b,\ c)\ \ をすべて求めよ。$


(1)


$a < b \ \ より \ \ a,\ b\ は自然数だから \quad a \leqq b-1 \quad よって \quad a! \leqq (b-1)!$

$b!-b\cdot a!=b(b-1)!-b\cdot a!=b\{(b-1)!-a!\} \geqq 0$

$b! \geqq b\cdot a! \quad より \quad \cfrac{b!}{a!} \geqq b$

$ただし等号は、b-1=a \quad すなわち \quad b=a+1 \ \ のとき$


(2)


$2\cdot a!=b! \ \ より \ \ b!-a!=a!>0 \quad よって \quad b! > a! \quad \therefore \ \ b>a$

$(1)より \quad \cfrac{b!}{a!} \geqq b \qquad 2 \geqq b$

$よって \quad b=1,\ \ 2$

$b=1 \quad のとき \quad 2\cdot a!=1 \quad となって これをみたす自然数 \ a\ はない。$

$b=2 \quad のとき \quad 2\cdot a!=2 \ \ より \ \ a=1$

$したがって \quad (a,\ b)=(1,\ 2)$


(3)


$a!+b!=2\cdot c!\ \ において \ a\ と \ b\ を交換しても同じ式だから \quad a \geqq b \ \ とする。$

(i)$\ \ a=c \quad のとき \quad b!=c! \ \ より \ \ b=c \quad よって \quad a=b=c$

(ii)$\ \ b=c \quad のとき \quad a!=c! \ \ より \ \ a=c \quad よって \quad a=b=c$

(iii)$\ \ b < a < c \quad のとき \quad a! < c! $

$\quad a!+b!=2\cdot c! \quad より \quad b!-c!=c!-a! \qquad b!-c! >0 \qquad b>c \quad となって矛盾する。$

(iv)$\ \ b < c < a \quad のとき$

$\quad a!+b!=2\cdot c! \quad より \quad \cfrac{a!}{c!}+ \cfrac{b!}{c!} =2 $

$\quad (1) より \quad \cfrac{a!}{c!} \geqq a \quad だから \quad 2-\cfrac{b!}{c!} \geqq a$

$\quad 0 < \cfrac{b!}{c!} \leqq 2-a \qquad \therefore \ \ a < 2 \quad a\ は自然数だから \ \ a=1$

$\quad すると \quad b < c < 1 \quad となってこれをみたす自然数 \ b,\ c \ はない。$

(v)$\ \ c < b < a \quad のとき \quad c! < b! $

$\quad a!+b!=2\cdot c! \quad より \quad b!-c!=c!-a! \qquad c!-a! >0 \qquad c>a \quad となって矛盾する。$

$以上より \quad a!+b!=2\cdot c!\ \ をみたす自然数の組 \ (a,\ b,\ c) \ \ は$

(i),(ii)$ の場合のみで \quad a=b=c \quad のときだから$

$(a,\ b,\ c)=(n,\ n,\ n) \ \ (n\ は任意の自然数)$


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