九州大学(理系) 2024年 問題1
$a\ を実数とし、座標空間内の \ 3\ 点 \ P(-1,\ 1,\ -1),\ \ Q(1,\ 1,\ 1),\ \ R(a,\ a^2,\ a^3)\ \ を考える。以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ a \ne -1,\ \ a \ne 1 \ \ のとき、3\ 点 \ P,\ Q,\ R\ は一直線上にないことを示せ。$
$(2)\ \ a\ が \ \ -1 < a < 1 \ \ の範囲を動くとき、三角形 \ PQR\ の面積の最大値を求めよ。$
(1)
$\vec{PQ}=\vec{OQ}-\vec{OP}=(1,\ 1,\ 1)-(-1,\ 1,\ -1)=(2,\ 0,\ 2)$
$\vec{PR}=\vec{OR}-\vec{OP}=(a,\ a^2,\ a^3)-(-1,\ 1,\ -1)=(a+1,\ a^2-1,\ a^3+1)$
$3\ 点 \ P,\ Q,\ R\ が一直線上にあれば \quad \vec{PR}=k\vec{PQ} \quad を満たす実数 \ k\ が存在するから$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} a+1=2k \hspace{5.5em}①\\ a^2-1=0 \hspace{5.5em}②\\ a^3+1=2k \hspace{5em}③\\ \end{array} \right. \]
$①より \quad a=2k-1 \quad これを③に代入して$
$(2k-1)^3+1=2k \qquad 8k^3-12k^2+4k=0$
$k(k-1)(2k-1)=0 \qquad \therefore \ \ k=0,\ 1,\ \cfrac{1}{2}$
(i)$\ \ k=0 \quad のとき$
$\quad ①に代入して \quad a=-1 \quad これは②、③を満たす。$
(ii)$\ \ k=1 \quad のとき$
$\quad ①に代入して \quad a=1 \quad これは②、③を満たす。$
(iii)$\ \ k=\cfrac{1}{2} \quad のとき$
$\quad ①に代入して \quad a=0 \quad これは③を満たすが、②を満たさない。$
$よって \quad \vec{PR}=k\vec{PQ} \quad を満たす実数 \ k\ は、k=0\ \ と \ \ k=1\ \ のみで、$
$k=0 \quad のときは \ \ a=-1 \quad だから\ \ 点 \ P\ と点 \ R\ は一致し、$
$k=1 \quad のときは \ \ a=1 \quad だから \ \ 点 \ Qと点 \ R\ は一致する。$
$したがって$
$3\ 点 \ P,\ Q,\ R\ が一直線上にあるならば \quad a=-1 \quad または \quad a=1 \quad である。$
$この命題の対偶をとって$
$a \ne -1 \quad かつ \quad a \ne 1 \quad ならば \ \ 3\ 点 \ P,\ Q,\ R\ は一直線上にない。$
(2)
$R\ から辺 \ PQ\ に下ろした垂線 \ RH\ の長さが最大のとき、面積は最大となる。$
$\vec{PH}=s\vec{PQ}=(2s,\ 0,\ 2s)\ \ (s\ は実数)\ \ とおけるから$
\begin{eqnarray*} \vec{RH} &=&\vec{PH}-\vec{PR}\\ \\ &=&(2s,\ 0,\ 2s)-(a+1,\ a^2-1,\ a^3+1)\\ \\ &=&(2s-a-1,\ -a^2+1,\ 2s-a^3-1) \end{eqnarray*}
$PQ \perp RH \quad より \quad \vec{PQ} \cdot \vec{RH}=0$
$(2,\ 0,\ 2) \cdot (2s-a-1,\ -a^2+1,\ 2s-a^3-1)=0$
$2(2s-a-1)+2(2s-a^3-1)=0$
$s=\cfrac{1}{4}(a^3+a+2)$
$このとき$
\begin{eqnarray*} \vec{RH} &=&\big(\cfrac{1}{2}(a^3+a+2)-a-1,\ -a^2+1,\ \cfrac{1}{2}(a^3+a+2)-a^3-1 \big)\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}(a^3-a,\ -2a^2+2,\ -a^3+a)\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\big(a(a+1)(a-1),\ -2(a+1)(a-1),\ -a(a+1)(a-1)\big)\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}(a+1)(a-1)(a,\ -2 ,\ -a)\\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} RH^2 &=&|\vec{RH}|^2\\ \\ &=&\cfrac{1}{4}(a+1)^2(a-1)^2\big(a^2+(-2)^2+(-a)^2\big)\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}(a+1)^2(a-1)^2(a^2+2)\\ \end{eqnarray*}
$h(a)=\cfrac{1}{2}(a+1)^2(a-1)^2(a^2+2) \quad とおくと$
\begin{eqnarray*} h'(a) &=&(a+1)(a-1)^2(a^2+2) + (a+1)^2(a-1)(a^2+2)+ (a+1)^2(a-1)^2 \cdot a\\ \\ &=&(a+1)(a-1)\big\{(a-1)(a^2+2) + (a+1)(a^2+2)+ a(a+1)(a-1)\big\}\\ \\ &=&(a+1)(a-1)(3a^3+3a)\\ \\ &=&3a(a+1)(a-1)(a^2+1)\\ \end{eqnarray*}
$-1 < a < 1 \quad だから \quad h'(a)=0 \quad より \quad a=0$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} a& -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1\\ \hline h'(a)& & + & 0 & - & \\ \hline h(a)& & \nearrow & 極大 & \searrow & \\ \end{array} \]
$a=0 \ で \ h(a)\ は極大かつ最大となり、最大値は \quad h(0)=1$
$したがって、三角形 \ PQR\ の面積の最大値 \ S\ は$
$S=\cfrac{1}{2} \times PQ \times RH=\cfrac{1}{2} \times \sqrt{2^2+2^2} \times 1=\sqrt{2}$
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