九州大学(理系) 2023年　問題5


$xy平面上の曲線 \ C\ を、媒介変数 \ t\ を用いて次のように定める。$
$\qquad x=t+2\sin ^2t,\quad y=t+\sin t \ \ (0 < t < \pi)$
$以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 曲線 \ C\ に接する直線のうち \ y\ 軸に平行なものがいくつあるか求めよ。$
$(2)\ \ 曲線 \ C\ のうち \ y \leqq x \ の領域にある部分と直線 \ y=x\ で囲まれた図形の面積を求めよ。$

(1)


$x=t+2\sin ^2t \quad より \quad \cfrac{dx}{dt}=1+4\sin t \cos t$

$y=t+\sin t \quad より \quad \cfrac{dy}{dt}=1+ \cos t$

$\cfrac{dy}{dx}=\cfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\cfrac{1+ \cos t}{1+4\sin t \cos t}$

$y\ 軸に平行な接線は傾きが\infty であるから $

$\cfrac{dx}{dt}=1+4\sin t \cos t=0$

$1+2\sin 2t=0 \qquad \sin 2t=-\cfrac{1}{2}$

$0 < t < \pi \quad だから \quad 0 < 2t < 2\pi$

$2t=\cfrac{7}{6}\pi,\quad \cfrac{11}{6}\pi \qquad \therefore \ \ t=\cfrac{7}{12}\pi,\quad \cfrac{11}{12}\pi$

$このとき、\cfrac{dy}{dt}=1+ \cos t \ne 0 \ \ だから \ \ y\ 軸と平行な接線は \ 2\ 本ある。$

　

$x,y\ \ の増減表は$
\[ \qquad \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t & 0 & \cdots & \small{\cfrac{7}{12}\pi} & \cdots & \small{\cfrac{11}{12}\pi} & \cdots & \pi\\ \hline \small{\cfrac{dx}{dt}} & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \small{\cfrac{dy}{dt}} & & + & + & + & + & + & \\ \hline x & 0 & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \pi\\ \hline y & 0 & \nearrow & & \nearrow & & \nearrow & \pi \\ \end{array} \]

　

$これをもとにかいた曲線 \ C\ のグラフは右のとおりである。$

$手書きのグラフは \dot{い}\dot{い}\dot{加}\dot{減}でかけるが、パソコンは正確であるが$
$かゆいところに手が届かない。$

$全体のグラフでは \ \ t=\cfrac{11}{12}\pi\ \ の近くでの様子がわかりづらいので、$
$この部分を拡大したグラフが右図である。$


(2)


$y \leqq x \quad より \quad t+\sin t \leqq t+2\sin ^2 t$

$2\sin ^2 t -\sin t \geqq 0$

$\sin t(2\sin t-1) \geqq 0$

$0 < t < \pi \ \ では \ \ \sin t > 0 \ \ だから \quad 2\sin t-1 \geqq 0$

$\sin t \geqq \cfrac{1}{2} \quad より \quad \cfrac{\pi}{6} \leqq t \leqq \cfrac{5}{6}\pi$

$t=\cfrac{\pi}{6},\quad \cfrac{5}{6}\pi \quad のときの \ x\, y\ をそれぞれ \ x_1,\ x_2, \ y_1,\ y_2 \ とおくと$

$\quad x_1=y_1=\cfrac{\pi}{6}+\sin \cfrac{\pi}{6}=\cfrac{\pi}{6}+\cfrac{1}{2}$

$\quad x_2=y_2=\cfrac{5}{6}\pi + \sin \cfrac{5}{6}\pi=\cfrac{5}{6}\pi +\cfrac{1}{2}$

　

$区間 \ \ \cfrac{\pi}{6} \leqq t \leqq \cfrac{5}{6}\pi \ \ で、y\ 軸と、曲線 \ C\ 及び直線 \ y=x \ とで挟まれた$
$部分の面積をそれぞれ \ S_1,\ S_2 \ とすると$

\begin{eqnarray*} S_1 &=&\int _{y_1}^{y_2} xdy\\ \\ &=&\int _{\scriptsize{\cfrac{\pi}{6}}}^{\scriptsize{\cfrac{5}{6}}\normalsize{\pi}} (t+2\sin ^2t)(1+ \cos t)dt\\ \\ &=&\int _{\scriptsize{\cfrac{\pi}{6}}}^{\scriptsize{\cfrac{5}{6}}\normalsize{\pi}} (t+t\cos t + 2\sin ^2t+2\sin ^2 t \cos t )dt\\ \\ &=&\int _{\scriptsize{\cfrac{\pi}{6}}}^{\scriptsize{\cfrac{5}{6}}\normalsize{\pi}} (t+1-\cos 2t+2\sin ^2 t \cos t )dt + \int _{\scriptsize{\cfrac{\pi}{6}}}^{\scriptsize{\cfrac{5}{6}}\normalsize{\pi}} t\cos t dt\\ \\ &=&\big[\cfrac{t^2}{2}+t-\cfrac{1}{2}\sin 2t+\cfrac{2}{3}\sin ^3 t \big] _{\scriptsize{\cfrac{\pi}{6}}}^{\scriptsize{\cfrac{5}{6}}\normalsize{\pi}}+\big[t\sin t\big] _{\scriptsize{\cfrac{\pi}{6}}}^{\scriptsize{\cfrac{5}{6}}\normalsize{\pi}} - \int _{\scriptsize{\cfrac{\pi}{6}}}^{\scriptsize{\cfrac{5}{6}}\normalsize{\pi}} \sin t dt\\ \\ &=&\big[\cfrac{t^2}{2}+t-\cfrac{1}{2}\sin 2t+\cfrac{2}{3}\sin ^3 t \big] _{\scriptsize{\cfrac{\pi}{6}}}^{\scriptsize{\cfrac{5}{6}}\normalsize{\pi}}+\big[t\sin t\big] _{\scriptsize{\cfrac{\pi}{6}}}^{\scriptsize{\cfrac{5}{6}}\normalsize{\pi}} +[\cos t] _{\scriptsize{\cfrac{\pi}{6}}}^{\scriptsize{\cfrac{5}{6}}\normalsize{\pi}} \\ \\ &=&\cfrac{1}{2} \times \cfrac{25}{36}\pi ^2 +\cfrac{5}{6}\pi -\cfrac{1}{2}\sin \cfrac{5}{3}\pi + \cfrac{2}{3}\sin ^3 \cfrac{5}{6}\pi\\ \\ & & \qquad -\big(\cfrac{1}{2} \times \cfrac{1}{36}\pi ^2 + \cfrac{\pi}{6} - \cfrac{1}{2}\sin \cfrac{\pi}{3}+\cfrac{2}{3}\sin ^3 \cfrac{\pi}{6}\big)\\ \\ & & \qquad + \cfrac{5}{6}\pi \sin \cfrac{5}{6}\pi - \cfrac{\pi}{6}\sin \cfrac{\pi}{6} + \cos \cfrac{5}{6}\pi - \cos \cfrac{\pi}{6}\\ \\ &=&\cfrac{25}{72}\pi ^2 +\cfrac{5}{6}\pi + \cfrac{\sqrt{3}}{4} + \cfrac{1}{12} - \big(\cfrac{1}{72}\pi ^2 + \cfrac{\pi}{6} - \cfrac{\sqrt{3}}{4} +\cfrac{1}{12}\big)\\ \\ & & \qquad + \cfrac{5}{12}\pi - \cfrac{\pi}{12} - \cfrac{\sqrt{3}}{2} - \cfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ &=&\cfrac{\pi ^2}{3} +\pi - \cfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} S_2 &=&(台形DEFG)\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}(x_1+x_2)(y_2-y_1)\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\Big(\big(\cfrac{\pi}{6}+\cfrac{1}{2}\big)+ \big(\cfrac{5}{6}\pi+\cfrac{1}{2}\big)\Big) \Big(\big(\cfrac{5}{6}\pi +\cfrac{1}{2}\big) - \big(\cfrac{\pi}{6} +\cfrac{1}{2}\big)\Big) \\ \\ &=&\cfrac{1}{2}(\pi +1) \times \cfrac{2}{3}\pi \\ \\ &=&\cfrac{\pi ^2}{3} + \cfrac{\pi}{3}\\ \end{eqnarray*}
$よって、求める図形の面積 \ S\ は$

$S=S_1-S_2=\big(\cfrac{\pi ^2}{3} + \pi - \cfrac{\sqrt{3}}{2} \big) - \big(\cfrac{\pi^2}{3} + \cfrac{\pi}{3}\big)=\cfrac{2}{3}\pi -\cfrac{\sqrt{3}}{2}$


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