九州大学(理系) 2022年　問題5


$xy \ 平面上の曲線 \ C\ を、媒介変数 \ t\ を用いて次のように定める。$
$\qquad x=5\cos t + \cos 5t ,\quad y=5\sin t -\sin 5t \ \ (-\pi \leqq t \leqq \pi)$
$以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 区間\ \ 0 < t < \cfrac{\pi}{6}\ \ において、\cfrac{dx}{dt} < 0,\ \ \cfrac{dy}{dx} < 0 \ \ であることを示せ。$
$(2)\ \ 曲線 \ C\ の \ \ 0 \leqq t \leqq \cfrac{\pi}{6}\ \ の部分、x\ 軸、直線 \ y=\cfrac{1}{\sqrt{3}}x \ \ で囲まれた図形の面積を求めよ。$
$(3)\ \ 曲線 \ C\ は \ x\ 軸に関して対称であることを示せ。また、C\ 上の点を原点を中心として反時計回りに$
$\qquad \cfrac{\pi}{3}\ だけ回転させた点は \ C\ 上にあることを示せ。$
$(4)\ \ 曲線 \ C\ の概形を図示せよ。$


$(解説)$

$(1)\ \ \cfrac{dx}{dt}\ と \ \cfrac{dy}{dt}\ を求めて、\cfrac{dy}{dx}\ の符号を調べます。$
$(2)\ \ 求める領域を直角三角形と曲線Cの部分にわけ、後者は積分変数をxからtに変換します。$
$(3)\ \ C\ 上の点 \ P(x,\ y)\ の \ x\ 軸に関する対称点と原点を中心として反時計回りに \ \cfrac{\pi}{3}\ だけ回転させた点の$
$\qquad それぞれの座標に、C\ の形を満たすtが存在すればよい。$
$(4)\ \ (3)以外の対称性や増減表、凹凸を調べて概形を描きます。$


(1)


$\quad \cfrac{dx}{dt}=-5\sin t - 5\sin 5t=-5(\sin t +\sin 5t)=-10\sin 3t \cos 2t$

$\quad \cfrac{dy}{dt}=5\cos t - 5\cos 5t=5(\cos t -\cos 5t)=10\sin 3t \sin 2t$

$\quad 0 < t < \cfrac{\pi}{6} \quad のとき \quad 0 < 2t < \cfrac{\pi}{3} ,\quad 0 < 3t < \cfrac{\pi}{2} \quad だから \quad \sin 2t >0 ,\quad \cos 2t > 0,\quad \sin 3t >0$

$よって \quad \cfrac{dx}{dt} < 0, \quad \cfrac{dy}{dt} > 0 \qquad したがって　\quad \cfrac{dy}{dx}=\cfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} <0$


$(別解)$

$\qquad \cfrac{dy}{dx}=\cfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\cfrac{10\sin 3t \sin 2t}{-10\sin 3t \cos 2t}=-\tan 2t < 0$


(2)

　
$\quad t=0 \quad のとき\quad x=5+1=6, \quad y=0$

$\quad t=\cfrac{\pi}{6} \quad のとき$

$\qquad x=5\cos \cfrac{\pi}{6} +\cos \cfrac{5\pi}{6}=2\sqrt{3},\quad y=5\sin \cfrac{\pi}{6} - \sin \cfrac{5\pi}{6}=2$

$\quad (1)より \quad 0 < t < \cfrac{\pi}{6} \quad で、\cfrac{dx}{dt} < 0,\ \ \cfrac{dy}{dt} > 0 \quad であるから$

$\quad 曲線 \ C\ は \ \ A(6,\ 0)\ \ から左上に\ \ B(2\sqrt{3},\ 2)\ \ まで移動する。$

$\quad 直線 \ y=\cfrac{1}{\sqrt{3}}x\ との交点もこの点 \ B\ である。$

$\quad この区間での曲線 \ C\ と直線のグラフは右図のとおりで、囲まれた図形の面積 \ S\ は直角三角形 \ OBH\ と$
$\quad 曲線 \ C\ の\ AB\ の部分の面積 \ T\ の和である。$

\begin{eqnarray*} T&=&\int _{2\sqrt{3}}^6 ydx\\ \\ &=&\int _{\scriptsize{\cfrac{\pi}{6}}} ^0 (5\sin t-\sin 5t)(-5)(\sin t +\sin 5t)dt\\ \\ &=&5\int _0 ^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{6}}} (5\sin t-\sin 5t)(\sin t +\sin 5t)dt\\ \\ &=&5\int _0 ^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{6}}} (5\sin ^2t + 4\sin t \sin 5t -\sin ^2 5t)dt\\ \\ &=&5\int _0 ^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{6}}} \big\{\cfrac{5}{2}(1-\cos 2t) -2(\cos 6t -\cos 4t) -\cfrac{1}{2}(1- \cos 10t)\big\}dt\\ \\ &=&5\int _0 ^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{6}}} \big(2- \cfrac{5}{2}\cos 2t -2\cos 6t +2\cos 4t + \cfrac{1}{2} \cos 10t\big)dt\\ \\ &=&5\big[2t- \cfrac{5}{4}\sin 2t -\cfrac{1}{3}\sin 6t +\cfrac{1}{2}\sin 4t + \cfrac{1}{20} \sin 10t\big] _0 ^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{6}}}\\ \\ &=&5\big(\cfrac{\pi}{3}-\cfrac{5\sqrt{3}}{8}+\cfrac{\sqrt{3}}{4}-\cfrac{\sqrt{3}}{40}\big)\\ \\ &=&\cfrac{5\pi}{3} -2\sqrt{3} \\ \end{eqnarray*} $よって \quad S=\triangle OBH +T=\cfrac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times 2 + \cfrac{5\pi}{3} -2\sqrt{3}= \cfrac{5\pi}{3} $


(3)


(i)$\ \ 曲線 \ C\ は \ x\ 軸に関して対称であること$

$\quad 曲線 \ C\ 上の点 \ P(x,\ y)\ の \ x\ 軸に関する対称点 \ P'(x',\ y')\ が \ C\ 上の点であることを示せばよい。$

$\quad y'=-y \quad より \quad y'=-5\sin t +\sin 5t=5\sin (-t)- \sin 5(-t)$

$\quad よって \quad t'=-t \quad ととれば \quad y'=5\sin t' - \sin 5t' \quad とおける。このとき$

$\qquad x'=5\cos t'+\cos 5t'=5\cos(-t)+\cos 5(-t)=5\cos t+\cos 5t=x$

$\quad したがって \quad P'(x',\ y')\ は曲線 \ C\ 上の点である。$


(ii)$\ \ C上の点 \ P(x,\ y)\ を原点を中心として反時計回りに \ \ \cfrac{\pi}{3}\ \ だけ回転させた点 \ P'(x',\ y')\ は \ C\ 上にあること$

　
$\quad OP\ と \ x\ 軸のなす角を \ \theta \ とすると$
\begin{eqnarray*} x' &=&OP\cos (\theta +\cfrac{\pi}{3})\\ &=&OP\cos \theta \cos \cfrac{\pi}{3} - OP\sin \theta \sin \cfrac{\pi}{3}\\ &=&x\cos \cfrac{\pi}{3} - y\sin \cfrac{\pi}{3}\\ &=&(5\cos t + \cos 5t)\cos \cfrac{\pi}{3} - (5\sin t - \sin 5t)\sin \cfrac{\pi}{3}\\ &=&5\big(\cos t \cos \cfrac{\pi}{3} - \sin t \sin \cfrac{\pi}{3}\big) + \cos 5t \cos \cfrac{\pi}{3} + \sin 5t \sin \cfrac{\pi}{3}\\ &=&5\cos (t + \cfrac{\pi}{3}) + \cos (5t - \cfrac{\pi}{3})\\ &=&5\cos (t + \cfrac{\pi}{3}) + \cos (5(t + \cfrac{\pi}{3})-2\pi)\\ &=&5\cos (t + \cfrac{\pi}{3}) + \cos 5(t + \cfrac{\pi}{3})\\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y' &=&OP\sin (\theta +\cfrac{\pi}{3})\\ &=&OP\sin \theta \cos \cfrac{\pi}{3} + OP\cos \theta \sin \cfrac{\pi}{3}\\ &=&y\cos \cfrac{\pi}{3} + x\sin \cfrac{\pi}{3}\\ &=&(5\sin t - \sin 5t)\cos \cfrac{\pi}{3} + (5\cos t + \cos 5t)\sin \cfrac{\pi}{3}\\ &=&5\big(\sin t \cos \cfrac{\pi}{3} + \cos t \sin \cfrac{\pi}{3}\big) - \big(\sin 5t \cos \cfrac{\pi}{3} - \cos 5t \sin \cfrac{\pi}{3}\big)\\ &=&5\sin (t + \cfrac{\pi}{3}) - \sin (5t - \cfrac{\pi}{3})\\ &=&5\sin (t + \cfrac{\pi}{3}) - \sin (5(t + \cfrac{\pi}{3})-2\pi)\\ &=&5\sin (t + \cfrac{\pi}{3}) - \sin 5(t + \cfrac{\pi}{3})\\ \end{eqnarray*}
$\quad したがって \quad t'=t+\cfrac{\pi}{3} \quad ととれば \quad x'=5\cos t'+ \cos 5t' ,\quad y'=5\sin t'- \sin 5t' \quad とおけるから$
$\quad Q(x',\ y')\ は \ C\ 上の点である。$


(4)


$グラフを描くにはもう少し情報が必要です。$

(iii)$\ \ 曲線 \ C\ は \ y\ 軸に関して対称であること$

$\qquad 曲線 \ C\ 上の点 \ P(x,\ y)\ の \ y\ 軸に関する対称点 \ P'(x',\ y')\ が \ C\ 上の点であることを示せばよい。$

$\qquad x'=-x \quad より \quad x'=-5\cos t - \cos 5t=5\cos (\pi-t) + \cos (\pi-5t)=5\cos (\pi-t) +\cos 5(\pi-t)$

$\qquad したがって \quad t'=\pi -t \quad ととれば、x'=5\cos t'+ \cos 5t' \quad とおける。このとき$

$\qquad y'=5\sin t'-\sin 5t'=5\sin(\pi -t) - \sin 5(\pi-t)=5\sin (\pi- t) - \sin (\pi -5t)=5\sin t -\sin 5t=y$

$\qquad したがって \quad P'(x',\ y')\ は曲線 \ C\ 上の点である。$

　

(iv)$\ \ 0 \leqq t \leqq \cfrac{\pi}{3} \ \ の部分の曲線 \ C\ は直線 \ y=\cfrac{x}{\sqrt{3}}\ に関して対称であること$

$\quad 線分 \ PP'\ は直線 \ y=\cfrac{x}{\sqrt{3}}\ に垂直であるから、傾きは \ \ -\sqrt{3}$

$\qquad \cfrac{y'-y}{x'-x}=-\sqrt{3} $

$\quad 線分 \ PP'\ の中点 \ M\ は \ \ y=\cfrac{x}{\sqrt{3}}\ 上にあるから$

$\qquad \cfrac{y'+y}{2}=\cfrac{x'+x}{2\sqrt{3}}$

$\quad これを解いて \quad x'=\cfrac{1}{2}x+\cfrac{\sqrt{3}}{2}y,\qquad y'=\cfrac{\sqrt{3}}{2}x -\cfrac{1}{2}y$

$よって$
\begin{eqnarray*} x' &=&\cfrac{1}{2}(5\cos t + \cos 5t) +\cfrac{\sqrt{3}}{2}(5\sin t - \sin 5t)\\ &=&5(\cfrac{1}{2}\cos t + \cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin t)+(\cfrac{1}{2}\cos 5t - \cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 5t)\\ &=&5\cos (\cfrac{\pi}{3}-t) + \cos (5t+\cfrac{\pi}{3})\\ &=&5\cos (\cfrac{\pi}{3}-t) + \cos (5t-\cfrac{5\pi}{3})\\ &=&5\cos (\cfrac{\pi}{3}-t) + \cos 5(\cfrac{\pi}{3}-t)\\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y' &=&\cfrac{\sqrt{3}}{2}(5\cos t + \cos 5t) - \cfrac{1}{2}(5\sin t - \sin 5t)\\ &=&5(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cos t - \cfrac{1}{2}\sin t)+(\cfrac{1}{2}\sin 5t + \cfrac{\sqrt{3}}{2}\cos 5t)\\ &=&5\sin (\cfrac{\pi}{3}-t) + \sin (5t+\cfrac{\pi}{3})\\ &=&5\sin (\cfrac{\pi}{3}-t) + \sin (5t-\cfrac{5\pi}{3})\\ &=&5\sin (\cfrac{\pi}{3}-t) - \sin 5(\cfrac{\pi}{3}-t)\\ \end{eqnarray*}
$\quad t'=\cfrac{\pi}{3} -t \ \ とおけば \quad x'=5\cos t' + \cos 5t' , \quad y'=5\sin t' - \sin 5t' \ \ と表されるから \ \ P'(x',\ y')\ は$

$\quad 曲線 \ C\ 上の点である。$


$次に、0 \leqq t \leqq \cfrac{\pi}{3} \ \ で増減表をつくります。$

$(1)より \quad \cfrac{dx}{dt}=-10\sin 3t \cos 2t \qquad \cfrac{dy}{dt}=10\sin 3t \sin 2t$

$0 < t < \cfrac{\pi}{3} \quad のとき$

$\quad $(i)$\ \ 0 < 2t < \cfrac{2}{3}\pi \quad だから \quad \cos 2t=0 \quad より \quad 2t=\cfrac{\pi}{2} \qquad t=\cfrac{\pi}{4} \qquad また \quad \sin 2t >0 $

$\quad $(ii)$\ \ 0 < 3t < \pi \quad だから \quad \sin 3t >0 $

$t=0 \ \ のとき$

$\qquad x=6, \ \ y=0 ,\ \ \cfrac{dy}{dx}=0 \quad よって 曲線 \ C\ は点 \ (6,\ 0)\ で \ x\ 軸に接する。$

$t=\cfrac{\pi}{4} のとき$

$\qquad x=5\cos \cfrac{\pi}{4} + \cos \cfrac{5\pi}{4}=\cfrac{5}{\sqrt{2}}- \cfrac{1}{\sqrt{2}}=\cfrac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$

$\qquad y=5\sin \cfrac{\pi}{4} - \sin \cfrac{5\pi}{4}=\cfrac{5}{\sqrt{2}}+ \cfrac{1}{\sqrt{2}}=\cfrac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$

$t=\cfrac{\pi}{3} \quad のとき$

$\qquad x=5\cos \cfrac{\pi}{3} + \cos \cfrac{5\pi}{3}=\cfrac{5}{2} + \cfrac{1}{2}=3$

$\qquad y=5\sin \cfrac{\pi}{3} - \sin \cfrac{5\pi}{3}=\cfrac{5\sqrt{3}}{2}+ \cfrac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$

$\qquad \cfrac{dy}{dx}=-\tan \cfrac{2\pi}{3}=\sqrt{3} \qquad よって 曲線 \ C\ は点 \ C\ (3,\ 3\sqrt{3}) \ で直線 \ y=\sqrt{3}x \ に接します。$

\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t & 0 & \cdots & \small{\cfrac{\pi}{4}} & \cdots & \small{\cfrac{\pi}{3}}\\ \hline \cfrac{dx}{dt} & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \cfrac{dy}{dt} & 0 & + & + & + & \\ \hline x & 6 & \searrow & 2\sqrt{2} & \nearrow & 3 \\ \hline y & 0 & \nearrow & 3\sqrt{2} & \nearrow & 3\sqrt{3} \\ \end{array} \]
$念のため、凹凸についても調べます。$
$\quad (1)より \quad \cfrac{dy}{dx}=-\tan 2t \quad だから$
\begin{eqnarray*} \cfrac{d^2y}{dx^2} &=&\cfrac{d}{dx}\big(\cfrac{dy}{dx}\big)\\ \\ &=&\cfrac{d}{dt}\big(\cfrac{dy}{dx}\big) \cdot \cfrac{dt}{dx}\\ \\ &=&\cfrac{d}{dt}(-\tan 2t) \cdot \cfrac{1}{\dfrac{dx}{dt}}\\ \\ &=&-\cfrac{2}{\cos ^2 2t} \times \cfrac{1}{-10\sin 3t \cos 2t}\\ \\ &=&\cfrac{1}{5\sin 3t \cos ^3 2t}\\ \end{eqnarray*}

　
(i)$\ \ 0 < t < \cfrac{\pi}{4} \quad のとき \quad 　\cos 2t > 0 \quad だから \quad \cfrac{d^2y}{dx^2}>0 \quad となり　下に凸$

(ii)$\ \ \cfrac{\pi}{4} < t < \cfrac{\pi}{3} \quad のとき \quad \cos 2t < 0 \quad だから \quad \cfrac{d^2y}{dx^2}<0 \quad となり　上に凸$

$以上より、区間 \ \ 0 \leqq t \leqq \cfrac{\pi}{3}\ \ でのグラフは右の通り。$

$これを基本ブロックとして、(3)より原点を中心として反時計回りに$
$\cfrac{\pi}{3}だけ回転させた部分もグラフの一部である。$

$続けてもう \ \ \cfrac{\pi}{3}\ \ だけ回転させた部分もグラフの一部である。$

　
$また、曲線 \ C\ は \ x\ 軸に関して対称であるから、上の \ 3\ ブロック分を \ x\ 軸で$
$折り返した部分もグラフの一部である。$

$したがって曲線Cの概形は右図のとおりである。$



$(参考)$

$角度部分を次のように変えた場合のグラフを調べました。$

$(1)\quad t \longrightarrow t,\quad 5t \longrightarrow 3t \hspace{8em} (2)\quad t \longrightarrow t,\quad 5t \longrightarrow 8t \hspace{8em} (3)\quad t \longrightarrow 3t,\quad 5t \longrightarrow 5t \hspace{8em}$

$\hspace{1em}$
$\hspace{3em}$
$\hspace{3em}$


$このように面白いグラフが得られました。$



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