九州大学(理系) 2022年　問題3


$自然数 \ m,\ n\ が \quad n^4=1+210m^2 \hspace{2em} \cdots ① \quad をみたすとき、以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ \cfrac{n^2+1}{2},\ \ \cfrac{n^2-1}{2}\ \ は互いに素な整数であることを示せ。$
$(2)\ \ n^2-1 \ \ は \ 168\ の倍数であることを示せ。$
$(3)\ \ ①をみたす自然数の組 \ (m,\ n)\ を \ 1\ つ求めよ。$


$(解説)$

$(1)\ \ ともに整数であることと、互いに素であることの \ 2\ つを示す必要があります。$
$(2)\ \ 168\ の約数がどちらに入るか調べますが、かなりの難問です。$
$(3)\ \ (2)をつかいます。$


(1)


(i)$\ \ \cfrac{n^2+1}{2},\ \ \cfrac{n^2-1}{2}\ \ は整数であることの証明$

$\quad n^4-1=210m^2 \quad において右辺は偶数だから \ n^4\ は奇数である。$

$\quad このとき、n\ が偶数ならば\ n^4\ は偶数となるから、n\ は奇数である。$

$\quad そこで、n=2k-1\ \ (k\ は整数)\ \ とおくと$

$\qquad \cfrac{n^2+1}{2}=\cfrac{(2k-1)^2+1}{2}=2k^2-2k+1$

$\qquad \cfrac{n^2-1}{2}=\cfrac{(2k-1)^2-1}{2}=2k^2-2k$

$\quad 2k^2-2k+1,\ \ 2k^2-2k \ \ はともに整数だから \quad \cfrac{n^2+1}{2},\ \ \cfrac{n^2-1}{2}\ \ はともに整数である。$


(ii)$\ \ \cfrac{n^2+1}{2},\ \ \cfrac{n^2-1}{2}\ \ は互いに素であることの証明(背理法をつかう)$

$\quad \cfrac{n^2+1}{2},\ \ \cfrac{n^2-1}{2}\ \ が互いに素でないとすると$

$\quad 公約数 \ d\ \ （d \ne 1)\ \ が存在して、\cfrac{n^2+1}{2}=dN,\ \ \cfrac{n^2-1}{2}=dM\ \ (N,\ M\ は整数)\ とおけるから$

$\quad n^2+1=2dN, \qquad n^2-1=2dM$

$\quad 辺々引いて \quad 2=2d(N-M) \qquad \therefore \ \ d(N-M)=1$

$\quad これより \quad d=1\ \ となって \ \ d \ne 1\ \ に矛盾する。よって \ \ \cfrac{n^2+1}{2},\ \ \cfrac{n^2-1}{2}\ \ は互いに素である。$


(2)


$n^4-1=210m^2 \quad において (1) より \quad n=2k-1\ \ (k\ は整数)\ \ とおけたから$

$n^4-1=(2k-1)^4-1=((2k-1)^2-1)((2k-1)^2+1)=(4k^2-4k)(4k^2-4k+2)=8k(k-1)(2k^2-2k+1)$

$k(k-1)\ は連続する \ 2\ 整数の積だから \ 2\ の倍数である。したがって \quad n^4-1 \ \ は \ \ 16=2^4\ の倍数である。$

$210=2 \times 3 \times 5 \times 7 \quad だから \quad m=2^2m' \quad とおけて$

$n^4-1= 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 2^4m'^2=2^5 \times 3 \times 5 \times 7 \times m'^2$

$したがって \quad 　\cfrac{n^2+1}{2} \times \cfrac{n^2-1}{2} =2^3 \times 3 \times 5 \times 7 \times m'^2$

$(1)より、\cfrac{n^2+1}{2}\ \ と \ \ \cfrac{n^2-1}{2}\ \ は互いに素だから$

$2^2,\ 3,\ 5,\ 7\ \ の各因数は \ \ n^2+1,\ \ n^2-1\ \ のどちらか一方にある。$

(i)$\ \ 因数 \ 2^2\ \ が \ n^2+1\ にあるとすると$

$\quad n^2+1=4l \ \ (l\ は整数)\ \ とおけるから \quad n^2=4l-1$

$\quad n=4p \ \ (pは整数)\ \ のとき　\quad n^2=16p^2 \ \ となるから、これは \ \ n^2=4l-1\ \ に矛盾する。$

$\quad n=4p \pm 1 \ \ のとき \quad n^2=(4p \pm 1)^2=4(4p^2 \pm 2p)+1 \quad となるからこれも \ \ n^2=4l-1\ \ に矛盾する。$

$\quad n=4p + 2 \ \ のとき \quad n^2=(4p + 2)^2=4(2p + 1)^2 \quad となるからこれも \ \ n^2=4l-1 \ \ に矛盾する。$

$\quad したがって\ \ 因数 \ 2^2\ は \ n^2-1\ にある。$

(ii)$\ \ 因数 \ 3\ が \ \ n^2+1\ \ にあるとすると$

$\quad n^2+1=3l \ \ (l\ は整数)\ \ とおけるから \quad n^2=3l-1$

$\quad n=3p\ \ (pは整数)\ \ のとき \quad n^2=9p^2 \ \ となるから、これは \ \ n^2=3l-1\ \ に矛盾する。$

$\quad n=3p \pm 1 \ \ のとき \ \ n^2=(3p \pm 1)^2=3(3p^2 \pm 2p)+1 \ \ となるからこれも \ \ n^2=3l-1 \ \ に矛盾する。$

$\quad したがって 因数 \ 3\ は \ \ n^2-1 \ \ にある。$

(iii)$\ \ 因数 \ 7\ が \ \ n^2+1\ \ にあるとすると$

$\quad n^2+1=7l\ \ (l\ は整数)\ \ とおけるから \quad n^2=7l-1$

$\quad n=7p\ \ (pは整数)\ \ のとき \quad n^2=49p^2 \ \ となるから、これは \ \ n^2=7l-1\ \ に矛盾する。$

$\quad n=7p \pm 1 \ \ のとき \ \ n^2=(7p \pm 1)^2=7(7p^2 \pm 2p)+1 \ \ となるからこれも \ \ n^2=7l-1\ \ に矛盾する。$

$\quad n=7p \pm 2 \ \ のとき \ \ n^2=(7p \pm 2)^2=7(7p^2 \pm 4p)+4 \ \ となるからこれも \ \ n^2=7l-1 \ \ に矛盾する。$

$\quad n=7p \pm 3 \ \ のとき \ \ n^2=(7p \pm 3)^2=7(7p^2 \pm 6p+1)+2 \ \ となるからこれも \ \ n^2=7l-1\ \ に矛盾する。$

$\quad したがって 因数 \ 7\ は \ \ n^2-1 \ \ にある。$

$なお、因数 \ 5\ については$

$\quad 3^2+1=10,\quad 7^2+1=50,\cdots \quad は \ 5\ の倍数$

$\quad 4^2-1=15,\quad 6^2-1=35,\cdots \quad は \ 5\ の倍数$

$\quad したがって、n\ によって$

$\quad n^2+1\ \ が \ 5\ の倍数になる場合もあるが、このとき\ \ n^2-1\ \ は \ 5\ の倍数ではない。$

$\quad n^2-1 \ \ が \ 5\ の倍数になる場合もあるが、このとき\ \ n^2+1\ \ は \ 5\ の倍数ではない。$


$以上より　2^2,\ 3,\ 7\ \ は \ \ \cfrac{n^2-1}{2}\ \ の因数であるから \ \ n^2-1\ \ は \ \ 2^3 \times 3 \times 7=168 \ \ の倍数である。$


(3)


$(2)より\quad n^2-1=168k \ \ (k\ は整数)\ \ とおけるから \quad n^2+1=168k+2$

$m^2=\cfrac{n^4-1}{210}=\cfrac{(n^2-1)(n^2+1)}{210}=\cfrac{168k(168k+2)}{2 \times 3 \times 5 \times 7}=\cfrac{2^3 \times 3 \times 7 \times k \times 2(84k+1)}{2 \times 3 \times 5 \times 7}=\cfrac{8}{5}k(84k+1)$

(i)$\ \ k=5 \ \ のとき \quad m^2=8(84 \times 5+1)=2^3 \times 421 \quad これを満たす整数 \ m\ はない。$

(ii)$\ \ k=10 \ \ のとき \quad m^2=16(84 \times 10+1)=2^4 \times 841=2^4 \times 29^2　\quad \therefore \ \ m=2^2 \times 29=116$

$このとき \quad n^2=168 \times 10 +1 =1681=41^2 \quad \therefore \ \ n=41$

$したがって \quad (m,\ n)=(116,\ 41)$


$(補充)$

$これ以外に解はないか、Excel VBA \ で調べたところ、少なくとも \ \ n,\ m \leqq 5000 \ \ までの範囲では$

$見つかりませんでした。$

$n^2=x,\ \ m=y \ \ とおくと \quad x^2-210y^2=1 \quad となりますが、この形の方程式をペルの方程式といいます。$

$これには一般的な解法があると思いますので、その結果は後日とします。$

$パソコンで調べたところ\ \ x \leqq 8000,\ \ y \leqq 8000 \ \ の範囲で、(x,y)=(29,\ 2),\ \ (1681,\ 116)\ \ の解が見つかりました。$

$1681=41^2 \ \ ですから上の問題の解答に一致しますが、\sqrt{29}\ \ は整数ではありません。$



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