九州大学(理系) 2022年　問題2


$\quad n\ を \ 3\ 以上の自然数、\alpha , \ \beta \ を相異なる実数とするとき、以下の問いに答えよ。$
\[(1)\ \ 次をみたす実数 \ A,\ B,\ C\ と整式 \ Q(x)\ が存在することを示せ。\] \[\qquad x^n=(x-\alpha )(x-\beta )^2Q(x)+A(x-\alpha)(x-\beta)+B(x-\alpha)+C\] \[(2)\ \ (1)の \ A,\ B,\ C\ を \ n,\ \alpha ,\ \beta \ \ を用いて表せ。\] \[(3)\ \ (2)の \ A\ について、n\ と \ \alpha \ を固定して、\beta \ を \ \alpha \ に近づけたときの極限値 \ \ \lim _{\beta \rightarrow \infty} A\ \ を求めよ。\]


$(解説)$

$(1)\ \ 除法の原理をつかえばいいでしょう。$
$(2)\ \ C,\ B\ は簡単に求まりますが、A\ を求めるには工夫がいります。$
$\quad なお、分数関数の微分法をつかえば \ A\ も簡単に求まりますが \cdots $
$(3)\ \ (2)の途中ででてくる式を使います。$


(1)


$除法の原理により$

$\quad x^n=(x-\alpha)Q_1(x)+R_1 \ \ となる \ n-1 \ 次の整式 \ Q_1(x)\ と定数 \ R_1 \ が存在する。$

$同様にして$

$\quad Q_1(x)=(x-\beta)Q_2(x)+R_2 ,\qquad Q_2(x)=(x-\beta)Q_3(x)+R_3 $

$となる \ n-2\ 次の整式 \ Q_2(x)\ と定数 \ R_2, \ \ n-3 \ 次の整式 \ Q_3(x)\ と定数 \ R_3 \ が存在する。$

$Q_2(x)\ \ を \ \ Q_1(x)\ \ に代入して$

$Q_1(x)=(x-\beta)\{(x-\beta)Q_3(x)+R_3\}+R_2=(x-\beta)^2 Q_3(x)+R_3(x-\beta) +R_2 $

$これを \ \ x^n \ \ の式に代入して$

\begin{eqnarray*} x^n &=&(x-\alpha)\{(x-\beta)^2 Q_3(x)+R_3(x-\beta) +R_2\}+R_1\\ \\ &=&(x-\alpha )(x-\beta )^2Q_3(x)+R_3(x-\alpha)(x-\beta)+R_2(x-\alpha)+R_1\\ \end{eqnarray*} $これが$

$\qquad x^n=(x-\alpha )(x-\beta )^2Q(x)+A(x-\alpha)(x-\beta)+B(x-\alpha)+C $

$に一致するから係数を比較して$

$\qquad Q(x)=Q_3(x),\quad A=R_3=Q_2(\beta),\quad B=R_2=Q_1(\beta),\quad C=R_1=\alpha ^n$


(2)


$\qquad x^n-\alpha ^n=(x-\alpha )(x-\beta )^2Q(x)+A(x-\alpha)(x-\beta)+B(x-\alpha) $

$の両辺を\ \ x-\alpha \ \ で割って$

$\quad \cfrac{x^n-\alpha ^n}{x-\alpha}=(x-\beta )^2 Q(x)+A(x-\beta)+B$

$x=\beta \ \ を代入して \qquad \cfrac{\beta ^n-\alpha ^n}{\beta -\alpha}=B$

$\quad \cfrac{x^n-\alpha ^n}{x-\alpha} - \cfrac{\beta ^n-\alpha ^n}{\beta -\alpha}=(x-\beta )^2 Q(x)+A(x-\beta)$

$ここで、a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1}) \quad だから$

\begin{eqnarray*} 左辺 &=&x^{n-1}+x^{n-2}\alpha + x^{n-3}\alpha^2 + \cdots + x \alpha^{n-2} +\alpha ^{n-1}- (\beta^{n-1} + \beta ^{n-2}\alpha + \beta ^{n-3}\alpha^2 +\cdots + \beta \alpha^{n-2}+\alpha ^{n-1})\\ \\ &=&(x^{n-1}-\beta^{n-1})+(x^{n-2}\alpha -\beta ^{n-2}\alpha) + (x^{n-3}\alpha^2- \beta ^{n-3}\alpha^2)+\cdots +(x \alpha^{n-2}- \beta \alpha^{n-2})\\ \\ &=&(x^{n-1}-\beta^{n-1})+(x^{n-2}-\beta ^{n-2})\alpha + (x^{n-3}- \beta ^{n-3})\alpha^2 +\cdots +(x - \beta) \alpha^{n-2}\\ \\ &=&\sum _{k=1}^{n-1}(x^{n-k}-\beta^{n-k})\alpha^{k-1}\\ \\ &=&\sum _{k=1}^{n-1}(x-\beta)(x^{n-k-1}+ x^{n-k-2}\beta + x^{n-k-3}\beta ^2 + \cdots + x\beta ^{n-k-2} + \beta ^{n-k-1})\alpha ^{k-1}\\ \\ &=&(x-\beta) \sum _{k=1}^{n-1}(x^{n-k-1}+ x^{n-k-2}\beta + x^{n-k-3}\beta ^2 + \cdots + x\beta ^{n-k-2} + \beta ^{n-k-1})\alpha ^{k-1}\\ \end{eqnarray*} $よって$
\[(x-\beta)\sum _{k=1}^{n-1}(x^{n-k-1}+\beta x^{n-k-2}+ \beta ^2x^{n-k-3}+ \cdots +\beta^{n-k-2}x + \beta ^{n-k-1})\alpha ^{k-1}= (x-\beta )^2 Q(x)+A(x-\beta)\] $両辺を\ \ x-\beta \ \ で割って$
\[\sum _{k=1}^{n-1}(x^{n-k-1}+\beta x^{n-k-2}+ \beta ^2x^{n-k-3}+ \cdots +\beta^{n-k-2}x + \beta ^{n-k-1})\alpha ^{k-1}= (x-\beta )Q(x)+A\] $x=\beta を代入して$
\begin{eqnarray*} A &=&\sum _{k=1}^{n-1}(\beta ^{n-k-1}+\beta \beta ^{n-k-2}+ \beta ^2 \beta ^{n-k-3}+ \cdots +\beta^{n-k-2} \beta + \beta ^{n-k-1})\alpha ^{k-1}\\ &=&\sum _{k=1}^{n-1}(\beta ^{n-k-1}+\beta ^{n-k-1}+ \beta ^{n-k-1}+ \cdots +\beta^{n-k-1} + \beta ^{n-k-1})\alpha ^{k-1}\\ &=&\sum _{k=1}^{n-1}(n-k)\alpha ^{k-1} \beta ^{n-k-1} \\ \\ &=&(n-1)\beta ^{n-2} +(n-2)\alpha \beta ^{n-3} + \cdots + 2\alpha ^{n-3} \beta + \alpha ^{n-2}\\ \\ &=&\alpha ^{n-2} + 2\alpha ^{n-3} \beta + 3\alpha ^{n-4} \beta ^2 + \cdots + (n-2)\alpha \beta ^{n-3} + (n-1)\beta ^{n-2}\\ \end{eqnarray*} $両辺に \cfrac{\beta}{\alpha} をかけて$

$\quad \cfrac{\beta}{\alpha}A=\hspace{5em} \alpha ^{n-3}\beta + 2\alpha ^{n-4} \beta ^2 + 3\alpha ^{n-5} \beta ^3 + \cdots + (n-2)\beta ^{n-2} + \cfrac{(n-1)\beta ^{n-1}}{\alpha}$

$辺々引いて$
\begin{eqnarray*} (1-\cfrac{\beta}{\alpha})A &=&\alpha ^{n-2} + \alpha ^{n-3} \beta + \alpha ^{n-4} \beta ^2 + \cdots + \alpha \beta ^{n-3} + \beta ^{n-2} -\cfrac{(n-1)\beta ^{n-1}}{\alpha}\\ &=&\cfrac{\alpha ^{n-2}\big\{1-(\dfrac{\beta}{\alpha})^{n-1}\big\}}{1-\dfrac{\beta}{\alpha}} -\cfrac{(n-1)\beta ^{n-1}}{\alpha} \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} A &=&\cfrac{\alpha ^{n-2}\big\{1-(\dfrac{\beta}{\alpha})^{n-1}\big\}}{(1-\dfrac{\beta}{\alpha})^2} -\cfrac{(n-1)\beta ^{n-1}}{(1-\dfrac{\beta}{\alpha})\alpha}\\ \\ &=&\cfrac{\alpha ^n \big\{1-(\dfrac{\beta}{\alpha})^{n-1}\big\}}{(\alpha - \beta)^2} -\cfrac{(n-1)\beta ^{n-1}}{\alpha -\beta}\\ \\ &=&\cfrac{\alpha ^n -\alpha \beta ^{n-1} -(n-1)(\alpha -\beta) \beta ^{n-1}}{(\alpha -\beta)^2}\\ \\ &=&\cfrac{\alpha ^n -n\alpha \beta ^{n-1} +(n-1)\beta ^n}{(\alpha -\beta)^2}\\ \end{eqnarray*}
$以上より \qquad A=\cfrac{\alpha ^n -n\alpha \beta ^{n-1} +(n-1)\beta ^n}{(\alpha -\beta)^2} ,\quad B=\cfrac{\beta ^n-\alpha ^n}{\beta -\alpha},\quad C=\alpha ^n$


$(別解)$

$C,\ B\ \ を求めた後の式$

$\qquad \cfrac{x^n-\alpha ^n}{x-\alpha} - \cfrac{\beta ^n-\alpha ^n}{\beta -\alpha}=(x-\beta )^2 Q(x)+A(x-\beta)$

$両辺を \ x\ で微分して$

$\qquad \cfrac{nx^{n-1}(x-\alpha)-(x^n-\alpha ^n)}{(x-\alpha)^2} =2(x-\beta ) Q(x)+(x-\beta)^2Q'(x)+A$

$\qquad \cfrac{(n-1)x^n-n\alpha x^{n-1}+\alpha ^n}{(x-\alpha)^2} =2(x-\beta ) Q(x)+(x-\beta)^2Q'(x)+A$

$x=\beta \ \ を代入して$

$\qquad \cfrac{(n-1)\beta ^n-n\alpha \beta ^{n-1}+\alpha ^n}{(\beta-\alpha)^2} =A$


(3)


$(2)の \ \ A=\alpha ^{n-2} + 2\alpha ^{n-3} \beta + 3\alpha ^{n-4} \beta ^2 + \cdots + (n-2)\alpha \beta ^{n-3} + (n-1)\beta ^{n-2} \quad において$

$\qquad \beta \longrightarrow \alpha \quad とすると$

\begin{eqnarray*} \lim _{\beta \rightarrow \alpha}A &=&\alpha ^{n-2} + 2\alpha ^{n-2} + 3\alpha ^{n-2} + \cdots + (n-2)\alpha ^{n-2} + (n-1)\alpha ^{n-2} \\ \\ &=&\alpha ^{n-2} (1+ 2 + 3 + \cdots + (n-2) + (n-1)) \\ \\ &=&\cfrac{n(n-1)}{2} \alpha ^{n-2} \end{eqnarray*}


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