九州大学(理系) 2021年 問題4
$自然数 \ n\ と実数 \ a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots ,\ a_n \ \ (a_n \ne 0)\ に対して、2\ つの整式$
\[f(x)=\sum _{k=0}^n a_kx^k=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0\]
\[f'(x)=\sum _{k=1}^n ka_kx^{k-1}=na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \cdots + a_1\]
$を考える。\alpha ,\ \beta \ を異なる複素数とする。複素数平面上の2点 \ \alpha,\ \beta \ を結ぶ線分上にある点 \ \gamma \ で、$
$\hspace{5em} \cfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta -\alpha }=f'(\gamma) $
$をみたすものが存在するとき、\alpha,\ \beta,\ f(x)\ は平均値の性質をもつということにする。$
$以下の問いに答えよ。ただし、i\ は虚数単位とする。$
$(1)\ \ n=2\ のとき、どのような \ \alpha,\ \beta,\ f(x)\ も平均値の性質をもつことを示せ。$
$(2)\ \ \alpha =1-i , \ \beta =1+i ,\ f(x)=x^3+ax^2+bx+c \ \ が平均値の性質をもつための、実数 \ a,\ b,\ c\ に関する$
$\qquad 必要十分条件を求めよ。$
$(3)\ \ \alpha =\cfrac{1-i}{\sqrt{2}} , \ \beta =\cfrac{1+i}{\sqrt{2}} ,\ f(x)=x^7\ は、平均値の性質をもたないことを示せ。$
$(解説)$
$(1)\ \ 定義に基づいて計算します。\gamma \ は \ \alpha ,\ \beta \ の中点でとります。$
$(2)\ \ \gamma =1+ti \ \ とおき計算を進めてみましょう。$
$(3)\ \ 性質をもたないことを示すには、等式が成りたたないことを示せばよいでしょう。二項定理で \ 6\ 乗を$
$\qquad 展開してもいいし、極形式をつかう手も考えられます。$
(1)
$\quad n=2 \ \ より \quad f(x)=a_2x^2+a_1x+a_0 ,\qquad f'(x)=2a_2x+a_1$
\begin{eqnarray*} \cfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta -\alpha } &=&\cfrac{(a_2\beta ^2+a_1 \beta +a_0)-(a_2\alpha ^2+a_1 \alpha +a_0)}{\beta -\alpha}\\ \\ &=&\cfrac{a_2(\beta ^2 -\alpha ^2) + a_1 (\beta - \alpha)}{\beta -\alpha}\\ \\ &=&a_2(\beta +\alpha ) + a_1 \\ \end{eqnarray*} $\qquad f'(\gamma)=2a_2 \gamma +a_1 \quad だから \quad \gamma=\cfrac{\alpha+\beta}{2} \quad とすると \quad \cfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta -\alpha }=f'(\gamma) \quad が成りたち、$
$\quad どのような \ \alpha,\ \beta,\ f(x)\ も平均値の性質をもつ。$
(2)
$\qquad \alpha +\beta =(1-i)+(1+i)=2 ,\qquad \alpha \beta =(1-i)(1+i)=2$
\begin{eqnarray*} \cfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta -\alpha } &=&\cfrac{(\beta ^3+ a \beta ^2+b\beta +c) -(\alpha ^3 + a \alpha ^2 +b\alpha +c)}{\beta -\alpha}\\ \\ &=&\cfrac{(\beta ^3 -\alpha ^3) + a (\beta ^2 -\alpha ^2) +b(\beta - \alpha )}{\beta -\alpha}\\ \\ &=&\beta ^2 +\alpha \beta + \alpha ^2 + a(\beta + \alpha )+b\\ \\ &=&(\alpha + \beta )^2- \alpha \beta + a(\alpha + \beta)+b\\ \\ &=&2a+b+2\\ \end{eqnarray*}
$\qquad f'(\gamma)=3\gamma ^2+2a\gamma +b $
$\quad 平均値の性質をもてば \quad \cfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta -\alpha }=f'(\gamma) \ \ が成りたつから$
$\qquad 2a+b+2=3\gamma ^2+2a\gamma +b \qquad \therefore \ \ 3\gamma ^2+2a\gamma -2(a+1)=0$
$\quad このとき、点 \ \gamma \ は、2\ 点 \ \alpha,\ \beta \ を結ぶ線分上にあるから \quad \gamma =1+ti \ \ (-1 \leqq t \leqq 1) \quad とおける。$
$\quad 3(1+ti)^2+ 2a(1+ti)-2(a+1)=0$
$\quad (1-3t^2)+2t(a+3)i=0$
$\quad a,\ t\ は実数だから$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} 1-3t^2=0 \hspace{5em}\ ①\\ t(a+3)=0 \hspace{5em}②\\ \end{array} \right. \]
$②より \quad t=0,\quad a=-3 \ \ であるが、t=0\ \ は①を満たさない。$
$よって、(1),(2)より \quad t=\pm \cfrac{1}{\sqrt{3}},\quad a=-3$
$逆に \quad a=-3,\quad \gamma=1 \pm \cfrac{1}{\sqrt{3}}i \quad とすると$
$\qquad \cfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta -\alpha }=2a+b+2=b-4$
$\qquad f'(1 \pm \cfrac{1}{\sqrt{3}}i)=3(1 \pm \cfrac{1}{\sqrt{3}}i)^2-6(1 \pm \cfrac{1}{\sqrt{3}}i)+b=b-4$
$したがって、a=-3 \quad のとき、2点 \ \alpha,\ \beta \ \ を結ぶ線分上の \ \ \gamma=1 \pm \cfrac{1}{\sqrt{3}}i \quad に対して$
$\cfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta -\alpha }=f'(\gamma) \ \ がなりたち、平均値の性質をもつ。ただし、b,\ c\ は任意の実数である。$
(3)
$\quad \alpha =\cfrac{1-i}{\sqrt{2}} , \quad \beta =\cfrac{1+i}{\sqrt{2}} \quad より \quad \alpha +\beta =\cfrac{1-i}{\sqrt{2}}+\cfrac{1+i}{\sqrt{2}}=\cfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},\qquad \alpha \beta =\cfrac{1-i}{\sqrt{2}} \times \cfrac{1+i}{\sqrt{2}}=\cfrac{2}{2}=1$
$\qquad \alpha ^2 + \beta ^2=(\alpha + \beta )^2- 2\alpha \beta =2-2=0$
$\qquad \alpha ^4 + \beta ^4=(\alpha ^2 + \beta^2 )^2- 2\alpha^2 \beta^2 =-2$
$\qquad \alpha ^6 + \beta ^6=(\alpha ^4 + \beta^4 )(\alpha ^2 + \beta^2)-\alpha^2 \beta^2(\alpha ^2 +\beta ^2)=0$
$よって$
\begin{eqnarray*} \cfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta -\alpha } &=&\cfrac{\beta ^7- \alpha ^7}{\beta -\alpha}\\ \\ &=&\beta ^6+ \beta^5 \alpha + \beta^4 \alpha^2 + \beta^3 \alpha^3 + \beta^2 \alpha^4 + \beta \alpha^5 + \alpha^6\\ \\ &=&(\alpha ^6 +\beta ^6) + \alpha \beta (\alpha^4 + \beta^4)+ \alpha^2 \beta^2(\alpha^2 + \beta^2) + \alpha^3 \beta^3\\ \\ &=&-2 \times 1 + 1\\ \\ &=&-1 \end{eqnarray*} $\qquad f(x)=x^7 \quad より \quad f'(x)=7x^6 \qquad よって \quad f'(\gamma)=7\gamma ^6$
$\quad \alpha =\cfrac{1-i}{\sqrt{2}} , \quad \beta =\cfrac{1+i}{\sqrt{2}} , \quad f(x)=x^7 \quad が平均値の性質をもつとすると$
$\qquad 7\gamma ^6=-1 \quad より \quad \gamma ^6=-\cfrac{1}{7}$
$\quad \gamma \ は \ 2\ 点\ \alpha,\ \beta \ を結ぶ線分上にあるから \quad \gamma=\cfrac{1}{\sqrt{2}}+ti \ \ ( -\cfrac{1}{\sqrt{2}} \leqq t \leqq \cfrac{1}{\sqrt{2}})\ \ とおける。$
$\quad (\cfrac{1}{\sqrt{2}}+ti)^6=-\cfrac{1}{7} \qquad 左辺を二項定理で展開すると$
$\quad \big(\cfrac{1}{\sqrt{2}}\big)^6 +6\big(\cfrac{1}{\sqrt{2}}\big)^5(ti)+15\big(\cfrac{1}{\sqrt{2}}\big)^4(ti)^2+20\big(\cfrac{1}{\sqrt{2}}\big)^3(ti)^3+ 15\big(\cfrac{1}{\sqrt{2}}\big)^2(ti)^4+6\big(\cfrac{1}{\sqrt{2}}\big)(ti)^5+(ti)^6=-\cfrac{1}{7}$
$\quad \cfrac{1}{8}+\cfrac{6t}{4\sqrt{2}}i -\cfrac{15}{4}t^2 - \cfrac{20t^3}{2\sqrt{2}}i+ \cfrac{15}{2}t^4 + \cfrac{6t^5}{\sqrt{2}}i -t^6=-\cfrac{1}{7}$
$tは実数だから$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} \cfrac{1}{8} -\cfrac{15}{4}t^2 + \cfrac{15}{2}t^4 -t^6=-\cfrac{1}{7} \hspace{5em}(1)\\ \cfrac{6t}{4\sqrt{2}} - \cfrac{20t^3}{2\sqrt{2}}+ \cfrac{6t^5}{\sqrt{2}}=0 \hspace{7em}(2)\\ \end{array} \right. \]
$(2)より \cfrac{3t}{2} - 10t^3 + 6t^5 =0$
$t(12t^4-20t^2+3)=0$
$t(2t^2-3)(6t^2-1)=0$
$0 \leqq t^2 \leqq \cfrac{1}{2} \quad だから \quad t=0,\quad t^2=\cfrac{1}{6}$
$(1)の左辺は$
(i)$\ \ t=0 \ \ のとき \quad \cfrac{1}{8}$
(ii)$\ \ t^2=\cfrac{1}{6} \ \ のとき \quad \cfrac{1}{8}- \cfrac{15}{4} \times \cfrac{1}{6} + \cfrac{15}{2} \times (\cfrac{1}{6})^2 -(\cfrac{1}{6})^3=-\cfrac{8}{27}$
$よって、ともに(1)を満たさないので、平均値の性質をもたない。$
$((3)の別解)$
$\alpha ,\ \beta \ \ を極形式で表すと \quad \alpha =\cfrac{1-i}{\sqrt{2}}=\cos \cfrac{\pi}{4}-i\sin \cfrac{\pi}{4} , \qquad \beta =\cfrac{1+i}{\sqrt{2}}=\cos \cfrac{\pi}{4} + i\sin \cfrac{\pi}{4} \quad より$
$\quad \alpha ^7=\cos \cfrac{7\pi}{4}- \sin \cfrac{7\pi}{4}=\cfrac{1}{\sqrt{2}}+\cfrac{1}{\sqrt{2}}i=\beta , \qquad \beta ^7=\cos \cfrac{7\pi}{4}+ \sin \cfrac{7\pi}{4}=\cfrac{1}{\sqrt{2}}-\cfrac{1}{\sqrt{2}}i=\alpha $
$よって$
$\quad \cfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta -\alpha }=\cfrac{\beta ^7- \alpha ^7}{\beta -\alpha}=\cfrac{\alpha - \beta }{\beta -\alpha}=-1$
$\quad \gamma ^6=-\cfrac{1}{7} \quad より \quad |\gamma| ^6=\cfrac{1}{7} \qquad |\gamma| =\cfrac{1}{\sqrt[6]{7}}$
$\quad \gamma =\cfrac{1}{\sqrt[6]{7}}(\cos \theta +i\sin \theta) \ \ (-\cfrac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \cfrac{\pi}{4})\ \ とおくと$
$\quad \gamma ^6 =\cfrac{1}{7}(\cos 6\theta +i\sin 6\theta)=-\cfrac{1}{7} \quad より \quad \cos 6\theta=-1,\qquad \sin 6\theta=0$
$\qquad 6\theta=(2k+1)\pi \qquad \therefore \ \ \theta=\cfrac{2k+1}{6}\pi$
$\qquad -\cfrac{1}{4} \leqq \cfrac{2k+1}{6} \leqq \cfrac{1}{4} \quad より \quad k=-1,\ \ 0$
$\qquad $(i)$\ \ k=-1 \ \ のとき \quad \theta=-\cfrac{\pi}{6} \qquad Re(\gamma) =\cfrac{1}{\sqrt[6]{7}}\cos (-\cfrac{\pi}{6})=\cfrac{1}{\sqrt[6]{7}}\cfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\qquad $(ii)$\ \ k=0 \ \ のとき \quad \theta=\cfrac{\pi}{6} \qquad Re(\gamma) =\cfrac{1}{\sqrt[6]{7}}\cos \cfrac{\pi}{6}=\cfrac{1}{\sqrt[6]{7}}\cfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\quad \gamma \ \ が \ \alpha ,\ \beta \ \ を結ぶ線分上にあれば、Re(\gamma)=\cfrac{1}{\sqrt{2}} \ \ だから線分上にない。$
$\quad よって、平均値の性質をもたない。$
$なお、Re(\gamma) \ は複素数 \ \gamma \ の実数部分を表す。$
$(研究)$
$f(x)=x^3 \ \ について(3)と同様なことを調べてみましょう。$
$\quad f'(x)=3x^2 \quad よって \quad f'(\gamma)=3\gamma ^2$
$\qquad \alpha =\cfrac{1-i}{\sqrt{2}}=\cos \cfrac{\pi}{4}-i\sin \cfrac{\pi}{4} , \qquad \beta =\cfrac{1+i}{\sqrt{2}}=\cos \cfrac{\pi}{4} + i\sin \cfrac{\pi}{4} \quad より$
$\qquad \alpha ^3=\cos \cfrac{3\pi}{4}- \sin \cfrac{3\pi}{4}=-\cfrac{1}{\sqrt{2}}-\cfrac{1}{\sqrt{2}}i=-\beta , \qquad \beta ^3=\cos \cfrac{3\pi}{4}+ \sin \cfrac{3\pi}{4}=-\cfrac{1}{\sqrt{2}}+\cfrac{1}{\sqrt{2}}i=-\alpha $
$\quad \cfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta -\alpha }=\cfrac{\beta ^3- \alpha ^3}{\beta -\alpha}=\cfrac{-\alpha + \beta }{\beta -\alpha}=1$
$\quad \gamma ^2=\cfrac{1}{3} \quad より \quad |\gamma| =\cfrac{1}{\sqrt{3}}$
$\quad \gamma =\cfrac{1}{\sqrt{3}}(\cos \theta +i\sin \theta) \ \ (-\cfrac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \cfrac{\pi}{4})\ \ とおくと$
$\quad \gamma ^2 =\cfrac{1}{3}(\cos 2\theta +i\sin 2\theta)=\cfrac{1}{3} \quad より \quad \cos 2\theta=1,\quad \sin 2\theta=0$
$\qquad 2\theta=2k\pi \qquad \therefore \ \ \theta=k\pi$
$\qquad -\cfrac{1}{4} \leqq k \leqq \cfrac{1}{4} \quad より \quad k=0 \quad このとき \quad \theta =0$
$\quad よって \quad Re(\gamma) =\cfrac{1}{\sqrt{3}}\cos 0 =\cfrac{1}{\sqrt{3}}$
$\quad \gamma が\ 2\ 点 \ \alpha ,\ \beta \ \ を結ぶ線分上にあれば、Re(\gamma)=\cfrac{1}{\sqrt{2}} \quad だから線分上にない。$
$\quad よって、平均値の性質をもたない。$
$このように、f(x)=x^3 \ \ は平均値の性質をもちませんが、(2)では \ \ ax^2+bx+c \ \ を調整項にしてもたせるように$
$しています。$
$また、(3)では \ \ f(x)=x^7 \ \ を考えていますが、x^4 \ \ でも \ \ x^5 \ \ でも \ \ x^6 \ \ でももちません。確かめてください。$
$ともあれ、実にユニークな問題です。さぞ、受験生も面食らったことでしょう。$
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