MY MATH NOTE

九州大学(理系) 2020年　問題3

$四面体OABCにおいて、辺OAの中点と辺BCの中点を通る直線を \ l、辺OBの中点と辺CAの中点を通る$
$直線を \ m、辺OCの中点と辺ABの中点を通る直線を \ n\ とする。l \perp m,\ m \perp n,\ n \perp l \ \ であり、AB=\sqrt{5},$
$BC=\sqrt{3},\ CA=2\ のとき、以下の問いに答えよ。$
$\quad (1)\ \ 直線OBと直線CAのなす角\theta \ \ (0 \leqq \theta \leqq \cfrac{\pi}{2})\ \ を求めよ。$
$\quad (2)\ \ 四面体OABCの4つの頂点をすべて通る球の半径を求めよ。$

　
$まず、垂直条件 \ \ l \perp m,\ m \perp n,\ n \perp l\ \ を変形します。$

$\vec{OA}=\vec{a},\ \ \vec{OB}=\vec{b},\ \ \vec{OC}=\vec{c},\ \ 辺OA,\ OB,\ OC,\ AB,\ BC,\ CA \ の中点を$
$それぞれ \ D,\ E,\ F,\ G,\ H,\ I\ \ とおく。$

(i)$\ \ l \perp m \quad より \quad \vec{DH}\perp \vec{EI} \quad だから$
$\quad \vec{DH}\cdot \vec{EI}=0$
$\quad (\vec{OH}-\vec{OD})\cdot (\vec{OI}-\vec{OE})=0$

$\quad (\cfrac{\vec{b}+\vec{c}}{2}-\cfrac{\vec{a}}{2})\cdot (\cfrac{\vec{c}+\vec{a}}{2}-\cfrac{\vec{b}}{2})=0$

$\quad (\vec{b}+\vec{c}-\vec{a})\cdot (\vec{c}+\vec{a}-\vec{b})=0$
$\quad (\vec{c}+\vec{b}-\vec{a})\cdot (\vec{c}-(\vec{b}-\vec{a}))=0$
$\quad |\vec{c}|^2-|\vec{b}-\vec{a}|^2=0$
$\quad |\vec{c}|^2=|\vec{b}-\vec{a}|^2=|\vec{AB}|^2=5$
$\quad \therefore |\vec{c}|=\sqrt{5}$

(ii)$\ \ m \perp n \quad より \quad \vec{EI}\perp \vec{FG} \quad だから$
$\quad \vec{EI}\cdot \vec{FG}=0$
$\quad (\vec{OI}-\vec{OE})\cdot (\vec{OG}-\vec{OF})=0$

$\quad (\cfrac{\vec{c}+\vec{a}}{2}-\cfrac{\vec{b}}{2})\cdot (\cfrac{\vec{b}+\vec{a}}{2}-\cfrac{\vec{c}}{2})=0$

$\quad (\vec{c}+\vec{a}-\vec{b})\cdot (\vec{b}+\vec{a}-\vec{c})=0$
$\quad (\vec{a}-(\vec{b}-\vec{c}))\cdot (\vec{a}+(\vec{b}-\vec{c}))=0$
$\quad |\vec{c}|^2-|\vec{b}-\vec{a}|^2=0$
$\quad |\vec{a}|^2=|\vec{b}-\vec{c}|^2=|\vec{CB}|^2=3$
$\quad \therefore |\vec{a}|=\sqrt{3}$

(iii)$\ \ n \perp l \quad より \quad \vec{FG}\perp \vec{DH} \quad だから$
$\quad \vec{FG}\cdot \vec{DH}=0$
$\quad (\vec{OG}-\vec{OF})\cdot (\vec{OH}-\vec{OD})=0$

$\quad (\cfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2}-\cfrac{\vec{c}}{2})\cdot (\cfrac{\vec{b}+\vec{c}}{2}-\cfrac{\vec{a}}{2})=0$

$\quad (\vec{a}+\vec{b}-\vec{c})\cdot (\vec{b}+\vec{c}-\vec{a})=0$
$\quad (\vec{b}+(\vec{a}-\vec{c}))\cdot (\vec{b}-(\vec{a}-\vec{c}))=0$
$\quad |\vec{b}|^2-|\vec{a}-\vec{c}|^2=0$
$\quad |\vec{b}|^2=|\vec{a}-\vec{c}|^2=|\vec{CA}|^2=4$
$\quad \therefore |\vec{b}|=2$

$これで、垂直条件が、辺の長さに置き換わりました。$

$四面体の各面の3辺の長さがわかりましたので、余弦定理を用いて2辺の表すベクトルの内積が求まります。$

(i)$\ \ \triangle OABにおいて、OAとOBのなす角を \ \alpha \ とおくと$

$\qquad AB^2=OA^2+OB^2-2OA\cdot OB\cos \alpha =OA^2+OB^2-2\vec{OA}\cdot \vec{OB}$

$\qquad \vec{OA}\cdot \vec{OB}=\cfrac{1}{2}(OA^2+OB^2-AB^2)=\cfrac{1}{2}(3+4-5)=1 \quad だから \quad \vec{a} \cdot \vec{b}=1$

(ii)$\ \ \triangle OBCにおいて、OBとOCのなす角を \ \beta \ とおくと$

$\qquad BC^2=OB^2+OC^2-2OB\cdot OC\cos \beta =OB^2+OC^2-2\vec{OB}\cdot \vec{OC}$

$\qquad \vec{OB}\cdot \vec{OC}=\cfrac{1}{2}(OB^2+OC^2-BC^2)=\cfrac{1}{2}(4+5-3)=3 \quad だから \quad \vec{b} \cdot \vec{c}=3$

(iii)$\ \ \triangle OCAにおいて、OCとOAのなす角を \ \gamma \ とおくと$

$\qquad CA^2=OC^2+OA^2-2OC\cdot OA\cos \gamma =OC^2+OA^2-2\vec{OC}\cdot \vec{OA}$

$\qquad \vec{OC}\cdot \vec{OA}=\cfrac{1}{2}(OC^2+OA^2-CA^2)=\cfrac{1}{2}(5+3-4)=2 \quad だから \quad \vec{c} \cdot \vec{a}=2$

$以上で、準備が整いました。$

(1)

(2)

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