九州大学(理系) 2019年 問題2
$0でない2つの整式f(x),g(x)が以下の恒等式を満たすとする。$
$\qquad f(x^2)=(x^2+2)g(x)+7,\quad g(x^3)=x^4f(x)-3x^2g(x)-6x^2-2$
$以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ f(x)の次数とg(x)の次数はともに2以下であることを示せ。$
$(2)\ \ f(x)とg(x)を求めよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ 右辺と左辺の次数を調べます。$
$(2)\ \ 右辺と左辺の係数を比べます。$
(1)
$f(x)は高々m次式、g(x)は高々n次式\ (ただしm,\ nは正の整数)とすると$
$f(x^2)=(x^2+2)g(x)+7 \quad において$
$\quad f(x^2)は \ 2m次、\quad (x^2+2)g(x)+7 \ は \ n+2次 \ だから \quad 2m=n+2$
$g(x^3)=x^4f(x)-3x^2g(x)-6x^2-2 において$
$\quad g(x^3)\ は \ 3n次、\quad x^4f(x)\ は \ m+4次,\quad x^2g(x)\ は \ n+2次 \ でこれらは2次以上だから$
$\quad 右辺は \ m+4次 \ または \ n+2次 \ である。$
$\quad よって、 3n=m+4 \quad または \quad 3n=n+2 $
(i) \[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} 2m=n+2\\ 3n=m+4\\ \end{array} \right. \] $の場合、これを解いて \quad m=2,\quad n=2$
(ii) \[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} 2m=n+2\\ 3n=n+2\\ \end{array} \right. \] $の場合、これを解いて \quad m=\cfrac{3}{2},\quad n=1 \qquad mは正の整数だから \ m=\cfrac{3}{2}\ は不適$
$よって m=2,\ \ n=2 \ \ となり、f(x)の次数とg(x)の次数はともに2以下である。$
(2)
$f(x)=ax^2+bx+c,\quad g(x)=px^2+qx+r \ \ とおくと$
$\qquad f(x^2)=ax^4+bx^2+c$
\begin{eqnarray*} (x^2+2)g(x)+7 &=&(x^2+2)(px^2+qx+r)+7\\ &=&px^4+qx^3+(2p+r)x^2+2qx+2r+7\\ \end{eqnarray*} $f(x^2)=(x^2+2)g(x)+7\ \ より$
$\qquad ax^4+bx^2+c=px^4+qx^3+(2p+r)x^2+2qx+2r+7$
$これは恒等式だから$
$\qquad a=p,\ \ q=0,\ \ b=2p+r,\ \ c=2r+7 \hspace{5em}①$
$g(x)=px^2+r \quad となるから$
$\qquad g(x^3)=px^6+r$
\begin{eqnarray*} x^4f(x)-3x^2g(x)-6x^2-2 &=&x^4(ax^2+bx+c)-3x^2(px^2+r)-6x^2-2\\ &=&ax^6+bx^5+(c-3p)x^4-(3r+6)x^2-2\\ \end{eqnarray*} $g(x^3)=x^4f(x)-3x^2g(x)-6x^2-2 \ \ より$
$\qquad px^6+r=ax^6+bx^5+(c-3p)x^4-(3r+6)x^2-2$
$これも恒等式だから$
$p=a,\ \ b=0,\ \ c-3p=0,\ \ 3r+6=0,\ \ r=-2 \hspace{5em}②$
$①,②を解いて \quad a=1,\ \ b=0,\ \ c=3,\ \ p=1,\ \ q=0,\ \ r=-2$
$したがって \quad f(x)=x^2+3,\quad g(x)=x^2-2$
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