京都大学(理系) 2026年 問題2
$r\ は正の実数とする。1\ 辺の長さが \ 1\ の正四面体 \ OABC\ において、辺 \ OA\ 上に点 \ P\ をとる。点 \ P\ が辺 \ OA\ 上$
$のどこにあっても、点 \ P\ を中心とする半径 \ r\ の球面が、辺 \ BC\ と共有点をもたないような \ r\ の範囲を求めよ。$
$ただし、点 \ O,\ A\ は辺 \ OA\ に含まれ、点 \ B,\ C\ は辺 \ BC\ に含まれるとする。$
$この円が辺 \ BC\ に接する接点を \ Q\ とすると \ \ PQ \perp BC$
$(1)\ \ 点 \ P\ と辺 \ BC\ の距離$
(i)$\ \ 点 \ P\ が辺 \ OA\ の中点 \ M\ のとき$
$\quad \triangle COA \ は正三角形だから \ \ CM \perp OA$
$\quad CM=\sqrt{OC^2-OM^2}=\sqrt{1-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\quad 点 \ M\ と辺 \ BC\ の距離は \ M\ から \ BC\ に下ろした垂線の長さで、$
$\quad \triangle MBC \ は二等辺三角形だから \ Q\ は \ BC\ の中点である。$
$\quad MQ=\sqrt{CM^2-CQ^2}=\sqrt{\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\quad 点\ Oから \ BC\ に下ろした垂線の足を \ Q'\ とすると$
$\quad \triangle OBC \ は正三角形だからQ'\ は \ BC\ の中点、よって \ \ Q'=Q$
$\quad OQ=OB\sin \dfrac{\pi}{3}=1 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
(iii)$\ \ 辺OA 上の点\ P\ と辺 \ BC\ との距離$
$\quad 点 \ P\ が線分 \ OM\ 上にあるときと \ AM\ 上にあるときは対称だから$
$\quad OM\ 上にあるときを考えればよい。$
$\quad $(i),(ii)$\ より \ \ MQ \perp BC,\quad OQ \perp BC$
$\quad MQ\ と \ OQ\ は交わる \ 2\ 直線だから$
$\quad MQ\ と\ OQ\ で作られる平面 \ OMQ\ は \quad 平面 \ OMQ \perp BC$
$\quad 線分\ PQ\ はこの平面上にあるから \ \ PQ \perp BC$
$\quad よって、点\ Pから \ BC\ に下ろした垂線の足は \ Q'\ である。$
$\angle MPQ < \dfrac{\pi}{2}\ \ だから \ \ \angle OPQ > \dfrac{\pi}{2}$
$よって \ \ \angle POQ < \angle OPQ \ \ だから \quad PQ < OQ$
$したがって \quad MQ < PQ < OQ \ \ だから点 \ P\ を中心とする$
$半径 \ r\ の球面が、辺 \ BC\ と共有点をもたないような \ r\ の範囲は$
$0 < r <\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$点 \ P\ が線分 \ OM\ 上にあるときと \ AM\ 上にあるときは対称だから$
$\quad OM\ 上にあるときを考えればよい。$
$\angle OMC=\dfrac{\pi}{2} \ \ だから \ \triangle OMC\ は直角三角形である。$
$よって \quad MC < PC $
$\angle MPC < \dfrac{\pi}{2} \ \ だから \ \ \angle OPC > \dfrac{\pi}{2}$
$よって \quad \angle POC < \angle OPC \ \ だから \ \ PC < OC$
$辺 \ BC\ と共有点をもたないような \ r\ の範囲は \quad r >1$
$(1),(2)より点 \ P\ が辺 \ OA\ 上のどこにあっても、点 \ P\ を中心とする$
$半径 \ r\ の球面が、辺 \ BC\ と共有点をもたないような \ r\ の範囲は$
$ 0 < r < \dfrac{\sqrt{2}}{2},\quad r>1$
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